(A1) Ángulos y complementos de Schur en espacios de Hilbert
Responsable: Demetrio Stojanoff (Univ. Nac. de La Plata)
Horario: martes 12, miércoles 13 y jueves 14 de 11 a 12.30hs
Aula: 9 (Pabellón 1) - Cupo: 150 participantes
Resumen: El curso trata sobre técnicas y problemas elementales pero poco frecuentados en el contexto de operadores en espacios de Hilbert. En la primera parte se da una versión organizada de la teoría de ángulos entre subespacios cerrados en un Hilbert, relacionándola con distancias entre conjuntos y normas de productos de proyectores. Las definiciones que daremos están bastante estandarizadas, aunque hay numerosas variaciones menores en la literatura, y una infinidad de notaciones diferentes. Las propiedades de estos ángulos son muy útiles en dimensión finita (entre otras razones por su relación con normas, valores singulares, máximos y mínimos de matrices), pero son aún más relevantes en el caso infinitodimensional, donde puede pasar que dos subespacios cerrados de un Hilbert H cumplan que N ∩ M = {0} pero el ángulo entre ellos sea nulo. Veremos que eso significará que N + M no es cerrado en H. El uso de ángulos y sus propiedades, una vez sistematizadas, simplifica drásticamente muchas demostraciones en diversos campos de la Teoría de operadores. Y al simplificar, permite también conseguir resultados nuevos. Pero es importante dar una versión sistematizada, porque es usual cometer errores elementales con los ángulos si uno no va con cuidado, y eso reduciría las ventajas antedichas de la teoría. En la primera parte se exponen también dos conceptos muy relacionados con los ángulos: las seudoinversas y el módulo mínimo de operadores. Con esas tres cartas en la mano, veremos diversas aplicaciones elementales a operadores. La segunda parte tiene como principal objetivo entender las representaciones en matrices de bloques de los operadores positivos, particularmente qué relaciones hay entre sus bloques coordenados: desigualdades de normas, inclusiones de rangos y cosas de ese tipo. Se comienza con un clásico resultado de Ron Douglas que caracteriza inclusiones de rangos de operadores (este teorema solo ya justifica el curso, porque es sorprendentemente útil). Con esto y las herramientas de la primera parte se puede generalizar sin dificultades casi todos los resultados de matrices (positivas de bloques) al caso de espacios de Hilbert infinitodimensionales. Se desarrolla en particular el concepto de complemento de Schur, o “cortocircuito” (shorted), otro caso de una teoría elemental, con importantes aplicaciones, pero poco frecuentada en libros y cursos.
Requisitos: Un curso de Análisis funcional (particularmente operadores en espacios de Hilbert).
Notas: Disponibles aquí (archivo PDF).