Sesión Geometría y Topología

Diciembre 14, 11:20 ~ 11:40

Campos de Jacobi en variedades de curvatura variable no positiva: el caso de $S^{1}\times \Delta $

Vansteenkiste, Natalí Romina

Proyecto ING 478. Dpto. de Matemática de la Escuela de Cs. Exactas y Naturales. \medskip Resumen: Este trabajo es producto de las investigaciones llevadas a cabo dentro del marco del Proy ING 478 radicado en el Dpto de Matemática de la Escuela de Ciencias Exactas y Naturales (ECEN) de la Facultad de Ciencias Exactas, Ingeniería y Agrimensura (FCEIA) de la Universidad Nacional de Rosario (UNR). Una fuerte motivación para el estudio de la dinámica geodésica proviene del campo de la Mecánica [1]. Dado que las variedades riemannianas [2] proveen una base muy general para la mecánica y la dinámica, siendo sus geodésicas las trayectorias buscadas, estamos interesados en su comportamiento para cualquier intervalo de tiempo (o para cualquier longitud). El comportamiento de las geodésicas de una variedad riemanniana puede ser estudiado mediante los campos de Jacobi [4]. Los mismos resultan ser una poderosa herramienta para estudiar la geometría intrínseca y extrínseca de una variedad riemanniana. Los campos de Jacobi son campos vectoriales definidos a lo largo de una curva geodésica de una variedad riemanniana que satisface una ecuación diferencial de segundo orden, involucra al operador de curvatura y está asociado a una variación de geodésicas. En [3] se le ha dado a $S^{1}\times \Delta $ , siendo $S^{1}$ la circunferencia unitaria centrada en el origen de coordenadas y $\Delta =\left\{ z\in \mathbb{C}:0<\left\vert z\right\vert <1\right\}$, una métrica "dinámica" de forma tal que resulte una variedad isométrica al grupo de Lie de las transformaciones de Moebius de la circunferencia. Con esta métrica, resulta una variedad no completa y de curvatura variable de signo constante negativo. En esta situación, a partir de esta variedad producto, hemos hallado los campos de Jacobi normales con el objetivo de describir la estructura geodésica de dicha variedad. Mostramos así, con este caso, que ciertas métricas no completas pueden resultar de interés en sí mismas. \medskip Palabras clave: campos de Jacobi - variedades riemannianas - métricas no completas - curvatura negativa. \medskip Referencias: [1] Arnold, V.I.; Mathematical methods of classical Mechanics, Graduate Texts in Math. 60 Springer, Berlin, 1989. [2] Do Carmo, Manfredo P; Riemannian Geometry. Series Mathematics: Theory and Applications. Birkhauser Boston. USA, 1992. [3] Emmanuele, D.; Salvai, M.;Force Free Moebius Motions of the Circle. Journal of Geometry and Symmetry in Physics, 27, pp 59-65. Sofía, Bulgaria, 2012. [4] Lee, John M. - Riemannian Manifolds. An Introduction to Curvature. Graduate Texts in Mathematics, 176. Springer-Verlag. New York, 1997.

Autores: Vansteenkiste, Natalí Romina / Emmanuele, Daniela .