Conferencias de la Reunión Científica
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Álgebras de Hopf Punteadas de Dimensión Finita
Iván Angiono, Universidad Nacional de Córdoba
Resumen: El concepto de álgebra de Hopf surge en los ’50 asociado a las álgebras de funciones sobre grupos algebraicos: en particular, sobre los números complejos, existe una biyección entre los grupos algebraicos y las álgebras de Hopf conmutativas. Más adelante, en especial desde los trabajos de Drinfeld y Jimbo, se consideran ejemplos no conmutativos y sus aplicaciones a distintos campos de la matemática y la física. Una de las familias más estudiadas desde los ’90 es la de las álgebras de Hopf punteadas, donde
la estructura está dominada en buena medida por un grupo (el de los elementos de tipo grupo) que es un invariante de la estructura de álgebra de Hopf. El objetivo de esta conferencia es mostrar el estado actual de la clasificación de las álgebras de Hopf punteadas de dimensión finita. Haremos especial énfasis en el caso de corradical abeliano, cuya respuesta final fue recientemente alcanzada. Recordaremos inicialmente las definiciones básicas: álgebras de Hopf, cuándo estas álgebras son punteadas, ejemplos y resultados básicos. Luego enunciaremos la clasificación obtenida por Andruskiewisch y Schneider [AS] cuando el orden del grupo asociado no es divisible por primos chicos: 2, 3, 5, 7; en especial, daremos los pasos del Método del Levante que ellos mismos introdujeron y los llevó a obtener dicho resultado. También describiremos cómo la clasificación de ciertas álgebras asociadas (las álgebras de Nichols de tipo diagonal) afecta a nuestro problema, y ciertos aspectos de la clasificación obtenida por Heckenberger [H].
A continuación daremos una presentación por generadores y relaciones de dichas álgebras de Nichols y las primeras consecuencias que se derivan de dicho resultado [An1, An2]. Finalmente, mostraremos cómo obtener a partir de la presentación anterior todos los levantamientos asociados a un álgebra de Nichols como antes y un grupo abeliano vía cierta deformación de las relaciones [A+, AAG, AnG], resultado que además da fuertes consecuencias sobre las categorías tensoriales asociadas.
Título a confirmar
Juan Cuadra Díaz, Universidad de Almería
Espacios BMO y de regularidad: Laplace vs Schrödinger
Eleonor Harboure, Universidad Nacional del Litoral, Santa Fe
Resumen: En el ámbito del Análisis Armónico asociado al Laplaciano, el espacio BMO de funciones de oscilación media acotada juega un rol esencial como el apropiado sustituto de L∞. Operadores fundamentales como las Transformadas de Riesz aplicados a funciones acotadas no dan funciones acotadas, pero sí caen dentro del espacio BMO, un poco más grande. Como una extensi ́on natural se pueden considerar espacios BMOφ, de funciones cuya oscilación media sobre bolas de radio r está controlada por φ(r) con φ creciente y φ(0) = 0. Cuando φ(t) = t β, 0 < β < 1, los espacios así definidos son los clásicos Lipschitz-β y son preservados por las Transformadas de Riesz. Con la teoría de pesos de Mucken-houpt para Lp, con 1 ≤ p < ∞, surge el estudio de versiones con pesos de estos espacios y el problema de acotación de operadores sobre ellos. En esta charla haremos una revisión de algunos aspectos de estos espacios e introduciremos los apropiados sustitutos en el ámbito del semigrupo generado por el operador de Schrödinger L = −∆ + V . Analizaremos sus similitudes y diferencias con el caso clásico a la vez que expondremos resultados recientes sobre el comportamiento de operadores actuando sobre ellos.
Control óptimo en la conjetura débil de Muckenhoupt-Wheeden
Sheldy Ombrosi, Universidad Nacional del Sur, Bahía Blanca
Resumen: En los últimos 15 años, han tenido gran desarrollo los problemas asociados a obtener desigualdades pesadas óptimas de operadores clásicos del análisis armónico. Uno de esos problemas ha sido conocido como conjetura débil de Muckenhoupt-Wheeden y está asociado con la desigualdad de tipo débil (1, 1) de una integral singular, respecto a un peso w en la clase A1. Concretamente, sea T es un operador de Calderón-Zygmund con núcleo “suave” (la Transformada de Hilbert por ejemplo). Si φ(t) es una función positiva definida para t ≥ 0 de tal manera que vale la desigualdad: (1) kT fkL1,∞(w) ≤ CT φ([w]A1 ) kfkL1(w), donde [w]A1 denota la constante A1 del peso w. La pregunta es ¿qué tan pequeña podemos tomar la función φ(t) de tal manera que (1) se cumpla? La conjetura débil de Muckenhoupt-Wheeden decía que era posible tomar una función φ(t) que tenga control lineal, es decir que φ(t) ≤ c t, como pasa por ejemplo si tomamos T como el operador maximal de Hardy-Littlewood. En el año 2009 conjuntamente con A. Lerner y C. Pérez probamos que en (1), es posible considerar una función φ(t) que satisfaga (2) φ(t) ≤ c t log(e + t) Posteriormente, en sucesivos trabajos entre los años 2013 y 2016, F. Nazarov, A. Reznikov, V. Vasyunin y A. Volberg probaron primero que φ(t) debía ser mayor que tlog 1 5 (e + t) y luego tlog 1 3 (e + t) para la transformada Martingala, demostrando que el control lineal, en general, no es posible. Finalmente en un trabajo reciente conjuntamente con A. Lerner y F. Nazarov hemos probado que φ(t) debe ser al menos como tlog(e + t) cuando por ejemplo T es la transformada de Hilbert y por lo tanto, la estimación (2) es óptima. En esta charla, daremos una idea general de cómo obtener este resultado y las diferentes técnicas que se utilizan alrededor de estos problemas.
Superficies Mínimas
Magdalena Rodríguez, Universidad de Granada
Resumen: La Teoría de Superficies Mínimas, aunque es clásica, sigue produciendo una gran actividad investigadora en la actualidad. En esta conferencia presentaremos algunos aspectos de esta teoría en el espacio euclídeo y su extensión a otros espacios homogéneos. En particular, nos centraremos en el estudio de superficies mínimas en el espacio producto del plano hiperbólico y la recta real, presentando ejemplos obtenidos y algunos teoremas de clasificación.
¿A dónde van a parar los puntos chiquitos?
Martín Sombra, ICREA & Universidad de Barcelona
Resumen: Un teorema de Szpiro, Ullmo y Zhang de 1997 muestra que, dada una sucesión de puntos de una variedad Abeliana sobre los racionales cuya altura de Néron-Tate se acerca a 0, sus órbitas de Galois convergen hacia la distribución uniforme sobre la variedad abeliana compleja asociada. Este resultado ha sido clave en la demostración por Ullmo y Zhang de la conjetura de Bogomolov. Desde entonces, el estudio de la distribución asintótica de las órbitas de Galois de puntos de altura chica ha atraído una gran atención, y el teorema de equidistribución fue ampliamente generalizado a muchas otras variedades y funciones altura. Entre otros casos de interés, este resultado incluye a las alturas asociadas a sistemas dinámicos de origen algebraico. A pesar de esto, quedan aún muchas preguntas y problemas fascinantes, como ser el cálculo del mínimo esencial de una función altura arbitraria sobre una variedad. Además, el teorema de equidistribución sólo es aplicable bajo la hipótesis restrictiva de que la función altura es quasi-canónica. Esta condición deja de lado la mayor parte de las funciones altura, y sería bueno poder saber cuál es la distribución asintótica de las órbitas de Galois en el caso general. En esta charla explicaré estos problemas, así como los resultados para funciones altura tóricas obtenidos en una serie de trabajos junto a Burgos Gil (Madrid), Philippon (Paris) y Rivera-Letelier (Rochester).
Ecuaciones fraccionarias no locales, semigrupos y aplicaciones
Pablo Raúl Stinga, Iowa State University - USA
Resumen: En esta conferencia explicaré diversas aplicaciones del método del semigrupo del calor para analizar las potencias fraccionarias de operadores diferenciales. Esta es una idea original introducida por José Luis Torrea y yo en 2009. Con esta técnica es posible obtener fórmulas puntuales para operadores fraccionarios, estimaciones de Hölder y Schauder, la caracterización de potencias fraccionarias con el problema de extensión, incluyendo fórmulas para la solución de la extensión en términos del semigrupo y de funciones de Bessel. Mostraré la versatilidad de estas ideas en varias aplicaciones recientes que incluyen ecuaciones fraccionarias elípticas (Caffarelli—Stinga), potencias fraccionarias del Laplaciano discreto y aproximaciones en la norma del supremo al problema de Poisson para el Laplaciano fraccionario (Ciaurri—Roncal—Stinga—Torrea—Varona), potencias fraccionarias del operador del calor y ecuaciones master (Stinga—Torrea) y derivadas fraccionarias de Marchaud (Bernardis—Martín-Reyes—Stinga—Torrea).
Además de las conferencias generales del Encuentro, habrá conferencias específicas de la 66º Reunión anual de comunicaciones científicas y conferencias específicas de la 40º Reunión de educación matemática.