Sesión Matemática Discreta

Diciembre 14, 16:30 ~ 16:50

Condiciones para la Sensitividad de Autómatas Celulares bi-dimensionales

ARIAS, Jesús Eduardo

Dado un conjunto finito $\mathcal{A}$ denominado alfabeto y el reticulado $\mathbb{Z}^{2}$, $\mathcal{A}^{\mathbb{Z}^{2}}$ es el conjunto de arreglos bidimensionales donde a cada par $(i,j)\in\mathbb{Z}^{2}$ asignamos una letra del alfabeto $\mathcal{A}$. Un patrón es cualquier conjunto conectadode vectores en $\mathbb{Z}^{2}$. Para $\left( i,j\right) $ definimos una vecindad $V\subset\mathbb{Z}^{2}$ como un conjunto de vectores conectados en $\mathbb{Z}^{2}$ centrado en $\left( i,j\right) $. $\mathcal{A}^{V}$ es el conjunto de todos los patrones posibles del tama\~{n}o de $V$ en $\mathbb{Z}^{2}$ con letras del alfabeto $\mathcal{A}$. Un autómata celular bi-dimensional es un par $(\mathcal{A}^{\mathbb{Z} ^{2}},F)$, donde $\mathcal{A}^{\mathbb{Z}^{2}}$ es un espacio m\'{e}trico compacto denominado espacio de configuraciones y $F:\mathcal{A}^{\mathbb{Z}^{2}} \rightarrow\mathcal{A}^{\mathbb{Z}^{2}}$ una función continua inducida por una función $\Phi:\mathcal{A}^{V} \rightarrow\mathcal{A}$ que asigna a cada patrón de $\mathcal{A}^{V}$ cualquier letra del alfabeto $\mathcal{A}$. Se pretende en este trabajo mostrar como la no existencia de patrones denominados bloqueadores garantizan la sensitividad de $F$. En este sentido, mostrar el comportamiento de determinados autómatas celulares bi-dimensionales estudiando las condiciones tanto para sensitividad como la equicontinuidad de los mismos. Petr K\r{u}rka en su trabajo Topological Dynamics of One-Dimensional Cellular Automata da una clasificación topológica de los AC unidimensionales. En este aspecto muestra que para $F:\mathcal{A}^{\mathbb{Z}}\rightarrow\mathcal{A}^{\mathbb{Z}}$; $F$ abierta implica $F$ cerrada, $F$ cerrada implica $F$ es sobreyectiva, y $F$ abierta y semi equicontinua implica $F$ biyectiva. Interesa ver si estas implicaciones tamb\'{e}n se mantienen en dimensiones superiores. La existencia de patrones denominados completamente bloqueadores garantiza la semi-equicontinuidad de $F$ en $\mathcal{A}^{\mathbb{Z}^{2}}$. El objetivo es estudiar ejemplos de AC que tengan punto de equicontinuidad y la existencia de patrones bloqueadores que no necesariamente sea completamente bloqueador. Se pretende encontrar un ejemplo que tenga tanto un punto de equicontinuidad como un patrón bloqueador, pero que no tenga ning\'{u}n patrón completamente bloqueador. Finalmente se busca avanzar en dar una caracterzación mas refinada de las propiedades topológicas de los autómatas celulares $d$-dimensionales.

Autores: ARIAS, Jesús Eduardo.