Sesión Geometría y Topología

Diciembre 13, 12:00 ~ 12:20

Complejos de funciones de Morse discretas

Capitelli, Nicolás

La teoría de Morse discreta es una muy potente herramienta combinatoria introducida por Forman \cite{For} para estudiar la topología de los complejos simpliciales. De manera análoga a lo que sucede en la teoría de Morse (clásica) sobre variedades diferenciables, las funciones de Morse combinatorias codifican deformaciones (discretas) entre los conjuntos de nivel de los complejos simpliciales y permiten obtener información del tipo homotópico de los poliedros que triangulan. En 2005, Chari y Joswig \cite{ChJo} introdujeron el \emph{complejo de funciones de Morse discretas} $\mathfrak{M}(K)$ de un complejo simplicial finito $K$ --- un análogo al espacio de campos vectoriales sobre una variedad diferenciable --- extendiendo una construcción previa de Kozlov \cite{Koz} sobre complejos asociados a grafos dirigidos. El espacio $\mathfrak{M}(K)$ es el complejo de todas las funciones de Morse combinatorias sobre $K$ y tiene, en general, una muy elevada complejidad estructural. Debido a esto, sólo se conocen resultados sobre complejos asociados a grafos muy particulares o a espacios muy sencillos, como símplices de bajas dimensiones. Recientemente, Minian y el autor \cite{CaMi} establecieron uno de los resultados más generales sobre los complejos de funciones de Morse discretas: el espacio $\mathfrak{M}(K)$ determina unívocamente al complejo $K$. En esta charla, contaremos la construcción del complejo de funciones de Morse discretas, exhibiremos algunas de las propiedades de estos espacios y presentaremos el resultado establecido en \cite{CaMi}. \begin{thebibliography}{99} \bibitem{CaMi} N. A. Capitelli, E. G. Minian, \emph{A simplicial complex is uniquely determined by its set of discrete Morse functions.} Discrete Comput. Geom. 58, No. 1, 144-157 (2017). \bibitem{ChJo} M. K. Chari, M. Joswig, \emph{Complexes of discrete Morse functions.} Discrete Math. 302(1-3), 39-51 (2005). \bibitem{Koz} D. N. Kozlov, \emph{Complexes of directed trees.} J. Combin. Theory Ser. A 88(1), 112-122 (1999). \bibitem{For} R. Forman, \emph{Morse theory for cell complexes.} Adv. Math. 134(1), 90-145 (1998). \end{thebibliography}

Autores: Capitelli, Nicolás.