Sesión Álgebra No Conmuntativa y Homológica

Diciembre 14, 16:30 ~ 16:50

Derivaciones del Álgebra de Lie de Heisenberg de Corrientes Truncada

ROJAS, Nadina Elizabeth

\normalsize \noindent Sea $\mathfrak{g}$ un álgebra de Lie compleja y $A$ un álgebra asociativa y conmutativa el producto tensorial $\mathfrak{g} \otimes A$ tiene una estructura de álgebra de Lie con el corchete $$ [X_1 \otimes a_1, X_2 \otimes a_2]= [X_1, X_2] \otimes a_1 a_2, $$ para $X_1, X_2 \in \mathfrak{g}$ y $a_1, a_2 \in A$. Estas álgebras de Lie son conocidas como \emph{Álgebras de Lie de Corrientes} y en el caso en que $A= \mathbb{C}[t]/ (t^{k+1})$ es conocida como el álgebra de \emph{Lie de Corrientes Truncada}. En este último caso, algunos aspectos homológicos han sido estudiados, por ejemplo en [FGT, H2, HW, Ku] y algunas aplicaciones a la teoría de ecuaciones en derivadas parciales se pueden ver, por ejemplo, en [CO, MM]. En el caso general de las álgebras de Lie de corrientes el álgebra de derivaciones y algunos resultados sobre la cohomología de estas álgebras de Lie se han estudiado, por ejemplo, en [Z1, Z2]. En particular, si $\mathfrak{g}= \mathfrak{h}_m$ el {á}lgebra de Lie de Heisenberg de dimensi{ó}n $2m+1$ el álgebra de Lie de corrientes truncadas es por definición $$ \mathfrak{h}_{m, k}= \mathfrak{h}_m \otimes \mathbb{C}[t]/ (t^{k+1}). $$ Esta es un álgebra de Lie compleja 2-pasos nilpotente y de dimensión $(2m+1)(k + 1)$. En este trabajo, damos una descripción explícita del álgebra de derivaciones $Der(\mathfrak{h}_{m,k})$ y del radical $\mathfrak{r}$ de $\mathfrak{h}_{m, k}$ para todo $m, k \in \mathbb{N}$. Además, probamos que el factor de Levi de $Der(\mathfrak{g}_{m,k})$ es el álgebra de Lie simple $\mathfrak{sp}(m, \mathbb{C})$ para todo $m, k\in \mathbb{N} $. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Bibliography %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% {\small \begin{thebibliography}{99} %%%%% Example: \bibitem[CO]{CO}{\sc P. Casati} and {\sc G. Ortenzi}, \emph{New integrable hierarchies from vertex operator representations of polynomial Lie algebras.} J. Geom. Phys. \textbf{56} (2006), no. 3, 418--449. \bibitem[FGT]{FGT} {\sc S. Fishel; I. Grojnowski} and {\sc C. Teleman}, \emph{The strong Macdonald conjecture and Hodge theory on the loop Grassmannian.} Ann. of Math. (2) \textbf{168} (2008), no. 1, 175--220. \bibitem[H]{H2} {\sc P. Hanlon}, \emph{Some conjectures and results concerning the homology of nilpotent Lie algebras}, Adv. Math., \textbf{84}, (1990), 91--134. \bibitem[HW]{HW} {\sc P. Hanlon} and {\sc M. Wachs}, \emph{On the property M conjecture for the Heisenberg Lie algebra}, J. Combin. Theory Ser. A \textbf{99} (2002), no. 2, 219--231. \bibitem[Ku]{Ku}{\sc S. Kumar}, \emph{Homology of certain truncated Lie algebras}, Recent developments in quantum affine algebras and related topics (Raleigh, NC, 1998), 309--325, Contemp. Math., \textbf{248}, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1999. \bibitem[MM]{MM}{\sc G. Magnano} and {\sc F. Magri}, \emph{Poisson-Nijenhuis structures, truncated loop algebras and Sato's KP hierarchy. Integrable systems and quantum groups}, (Pavia, 1990), 147--172, World Sci. Publ., River Edge, NJ, 1992. \bibitem[Z1]{Z1}{\sc P. Zusmanovich}, \emph{Low-dimensional cohomology of current Lie algebras and analogs of the Riemann tensor for loop manifolds}, Linear Algebra Appl. \textbf{407} (2005), 71--104. \bibitem[Z2]{Z2}{\sc P. Zusmanovich}, \emph{On $\delta$-derivations of Lie algebras and superalgebras}, J. of Algebra \textbf{324} (2010), 3470--3486. \end{thebibliography}}

Autores: ROJAS, Nadina Elizabeth / Ochoa Arango, Jesús Alonso.