Sesión Analisis (II)

Diciembre 14, 11:20 ~ 11:40

Algunas extensiones de la desigualdad de Poincaré

Martínez Perales, Javier

La desigualdad de Poincaré es una desigualdad clásica que establece una relación entre la norma $L^p$ de una función y la de su derivada. Más concretamente, si $f$ es una función suficientemente buena, la desigualdad de Poincaré $(p,p)$, $p\geq 1$ establece que \[\frac{1}{|Q|}\int_Q |f(x)-f_Q|^pdx\leq C\frac{\ell(Q)^p}{|Q|}\int_Q|\nabla f(x)|^pdx,\] donde $Q$ es un cubo de $\mathbb{R}^n$ y $f_Q$ es el promedio de $f$ en $Q$, $\frac{1}{|Q|}\int_Qf$. En esta comunicación se discutirán algunas extensiones de la desigualdad de Poincaré: \begin{itemize} \item Se verá un método para encontrar desigualdades de Poincaré degeneradas del tipo \[\frac{1}{|Q|}\int_Q|f(x)-f_Q|^pw(x)dx\leq C\frac{\ell(Q)^p}{|Q|}\int_Q|\nabla f(x)|^pw(x)dx.\] El método lleva a estudiar la clase de pesos $w\in L^1_{\textrm{loc}}(\mathbb{R}^n)$ que verifican la desigualdad \[\Vert w^{1/p}Mg\Vert_{L^{p,\infty}(dx)}\leq C\Vert g\Vert_{L^p(w)}.\] Este tipo de desigualdades ya fueron consideradas por Muckenhoupt y Wheeden en [1] y guardan relación con desigualdades con dos pesos que aparecen en [2] y [3]. \item Se discutirán algunas extensiones vectoriales de la desigualdad de Poincaré clásica y degenerada y de otros resultados clásicos relacionados con las desigualdades de Poincaré y desigualdades de Poincaré-Sobolev. Para ello, se utilizarán técnicas de extrapolación y resultados propios de la teoría de las desigualdades de Poincaré. \end{itemize} Los contenidos de esta comunicación son parte del trabajo para mi tesis doctoral con mis directores Carlos Pérez y Luz Roncal. \ \\ \\ \textbf{Bibliografía}: \begin{enumerate} \item {Muckenhoupt, Benjamin and Wheeden, Richard L., \textit{Some weighted weak-type inequalities for the Hardy-Littlewood maximal function and the Hilbert transform}, Indiana Univ. Math. J. \textbf{26} (1977), no. 5, 801--816}. \item Sawyer, E., \textit{A weighted weak type inequality for the maximal function}, Proc. Amer. Math. Soc. \textbf{93} (1985), 610–614. \item Li, Kangwei, Ombrosi, Sheldy and Pérez, Carlos, \textit{Proof of an extension of E. Sawyer's conjecture about weighted mixed weak-type estimates}, {https:/arxiv.org/pdf/1703.01530.pdf}. \end{enumerate}

Autores: Martínez Perales, Javier.