Sesión Aplicaciones de la Matemática y Física Matemática

Diciembre 15, 12:20 ~ 12:40

Identificación de una fuente en una ecuación de transporte no-lineal

UMBRICHT, Guillermo

El problema de determinación de la fuente ha sido muy estudiado durante los últimos a\~nos en distintas áreas de la Matemática Aplicada. Este tipo de problemas surge en disímiles y múltiples aplicaciones en los distintos campos de la ciencia y la Ingeniería tales como la conducción de calor, la identificación de fisuras, la teoría electromagnética, la detección de contaminantes y la detección de células tumorales, entre otros. En este trabajo no ocuparemos de identificar la fuente espacial en un dominio no acotado de una ecuación unidimensional de transporte a partir de mediciones en un tiempo fijo. Específicamente, consideramos la ecuación $$u_t (x,t)=\alpha^2 u_{xx} (x,t)-\beta u_x (x,t)- \nu u(x,t)+f(x), \qquad x \in \mathrm{R} , t \in (0,1) $$ con condición inicial $$ u(x,0)=0 \qquad x\in \mathrm{R}, $$ donde $\alpha^2, \beta, \nu $ son constantes positivas y buscamos determinar $f(x)$ a partir de mediciones de $u$.\\ Esta ecuación tiene múltiples aplicaciones en procesos de transporte. Bajo consideraciones particulares puede ser utilizada para modelar la transferencia unidimensional de calor que incluye difusión, flujo lateral y convección. La misma ecuación puede ser utilizada para modelar el transporte unidimensional de soluto en un fluido que tienen en cuenta la la dispersividad longitudinal, la velocidad del flujo y la convección. Veremos que es un problema inverso mal planteado ya que su solución no depende de manera continua de los datos. Proponemos entonces un método de regularización que veremos que resulta convergente y estable. Presentamos algunos ejempos numéricos para ilustrar estos resultados.

Autores: UMBRICHT, Guillermo / Rubio, Diana.