Sesión Álgebra Computacional y Conmutativa

Diciembre 15, 11:40 ~ 12:00

Aspectos cuantitativos en las demostraciones del Teorema Fundamental del Álgebra

PERRUCCI, Daniel

Actualmente se conocen diversas demostraciones del Teorema Fundamental del Álgebra, de distinta na\-tu\-ra\-le\-za. Entre las demostraciones de tipo algebraico, una de las más famosas es la de Laplace, en la que el teorema se demuestra a partir del hecho de que en $\mathbb{R}[X]$ se verifica el Teorema del Valor Medio. Siguiendo esta demostración, para demostrar que cualquier polinomio en $\mathbb{C}[X]$ de grado menor o igual a $d$ tiene una raíz en $\mathbb{C}$, se necesita aplicar el Teorema del Valor Medio a polinomios en $\mathbb{R}[X]$ de grado exponencial en $d$. Recientemente, Michael Eisermann propuso una nueva demostración del Teorema Fundamental del Álgebra, de naturaleza mixta entre algebraica y geométrica. La misma involucra los conceptos de Índice de Cauchy y \emph{winding number}, y finalmente, también se reduce a aplicar convenientemente el Teorema del Valor Medio en $\mathbb{R}[X]$. En esta comunicación, mostraremos como mediante el uso de subresultantes, es posible adaptar el trabajo de Eisermann, de manera que para demostrar que cualquier polinomio en $\mathbb{C}[X]$ de grado menor o igual a $d$ tiene una raíz en $\mathbb{C}$, sea necesario aplicar el Teorema del Valor Medio a polinomios en $\mathbb{R}[X]$ de grado polinomial en $d$. Éste es un trabajo en conjunto con Marie-Francoise Roy (en progreso).

Autores: PERRUCCI, Daniel / Roy, Marie-Françoise.