Sesión Analisis (II)

Diciembre 14, 11:40 ~ 12:00

La transformada de Riesz de orden dos asociada al operador de Schr'odinger.

QUIJANO, Pablo

Sea $\mathcal{L}=-\Delta + V$ el operador de Shr\"odinger en $\mathbb{R}^d$, $d\ge3$, donde el potencial $V$ es no negativo y satisface una desigualdad de H\"older al revés de orden $q>d/2$. Bajo estas condiciones $\mathcal{L}^{-1}$ es un operador integral y provee una solución para el problema $\mathcal{L}u=f$ en $\mathbb{R}^d$. En consecuencia, conocer propiedades de acotación de la transformada de Riesz de orden dos asociada $\mathcal{R}_2=\nabla^2\mathcal{L}^{-1}$ permite estimar propiedades de las derivadas segundas de la solución en términos del dato $f$. En~\cite{Shen}, Shen prueba desigualdades en $L^p$ para $\mathcal{R}_2$ sobre ciertos rangos de $p$. Sin embargo, a diferencia del caso de la transformada de Riesz de orden uno $\mathcal{R}=\nabla\mathcal{L}^{-1/2}$, estas desigualdades no se obtienen a través de estimaciones para el núcleo. Esto no permite extender la acotación sobre espacios $L^p$ con pesos más allá de los pesos de Muckenhoupt. En nuestro trabajo obtenemos una nueva expresión para el núcleo de $\mathcal{R}_2$ que nos permite encontrar desigualdades en $L^p(w)$ para $\mathcal{R}_2$ y $\mathcal{R}_2^{\star}$ y desigualdades con pesos en espacios tipo $BMO$ y Lipschitz para $\mathcal{R}_2^{\star}$. En todos los casos, la clase de pesos obtenida es mayor a la correspondiente clase de Muckenhoupt. Resultados en $L^p$ con pesos para $\mathcal{R}_2$ fueron obtenidos también en~\cite{Ly} por métodos diferentes. \begin{thebibliography}{1} \bibitem{Ly} Fu Ken Ly. Classes of weights and second order Riesz transforms associated to Schr\"odinger operators. J. Math. Soc. Japan, 68(2):489-533, 2016. \bibitem{Shen} Z. Shen. \newblock $L^p$ estimates for Schr\"odinger operators with certain potentials. \newblock Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 45 (1995). \end{thebibliography}

Autores: QUIJANO, Pablo / Bongioanni, Bruno / Harboure, Eleonor.