Sesión Álgebra No Conmuntativa y Homológica

Diciembre 14, 11:00 ~ 11:20

Deformaciones de álgebras de operadores diferenciales asociadas a arreglos de hiperplanos

KORDON, Francisco

A un arreglo central de hiperplanos $\mathcal {A}$ en un espacio vectorial $V$ de dimensión finita se le asocia clásicamente el álgebra de Lie $\mathrm{Der }\mathcal {A}$ de las derivaciones del álgebra de coordenadas $S(V)$ de $V$ que preservan cada uno de los hiperplanos de $\mathcal {A}$. Esta construcción, originalmente hecha por Saito en una situación más general en [3] y luego especializada al caso de los arreglos de hiperplanos por Terao en [4], es importante ya que el álgebra de Lie $\mathrm{Der }\mathcal {A}$ resulta ser un invariante muy útil de $\mathcal {A}$ que está íntimamente relacionado con la geometría y la combinatoria del arreglo y de su complemento. Un repaso de los resultados centrales de esta teoría puede encontrarse en el libro [2] de Orlik y Terao. En ese trabajo consideramos no el álgebra de Lie $\mathrm{Der }\mathcal {A}$ sino el álgebra asociativa $D(\mathcal {A})$ que $\mathrm{Der }\mathcal {A}$ genera junto con $S(V )$ dentro del álgebra $\mathrm {Diff }(V )$ de los operadores diferenciales sobre $V$. Previamente habíamos calculado la cohomología de Hochschild de $D(\mathcal {A})$, encontrando un conjunto irredundante de representantes, y el producto cup, con miras a recuperar información sobre el arreglo original. La charla tratará sobre las deformaciones de $D(\mathcal {A})$ que encontramos con la ayuda de nuestro cálculo explícito de de $H\!H^\bullet (D(\mathcal {A}))$ y del corchete de Gerstenhaber. Daremos ejemplos de $2$-cociclos que se integran a diferentes órdenes, que se integran completamente y que no se integran, utilizando para esto herramientas inspiradas en [1]. \bigskip \noindent\Large{\textbf{Referencias}} \bigskip \footnotesize { \begin{enumerate}[{[1]}] \item George M. Bergman, \textit{The diamond lemma for ring theory}, Advances in mathematics \textbf{29.2} (1978): 178-218. \item Peter Orlik and Hiroaki Terao, \textit{arrangements of hyperplanes}, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Vol. 300, Springer-Verlag, 1992 \item Kyoji Saito, \textit{Theory of logarithmic differential forms and logarithmic vector fields}, J. Fac. Sci. Univ. Tokyo Sect. IA Math. \textbf{27} (1980), no. 2, 265–291. \item Hiroaki Terao, \textit{Free arrangements of hyperplanes over an arbitrary field}, Proc. Japan Acad. Ser. A Math. Sci. \textbf{59} (1983), no. 7, 301–303. \end{enumerate}

Autores: KORDON, Francisco / Suárez Álvarez, Mariano.