Sesión Geometría Algebraica y Teoría de Números

Diciembre 14, 18:10 ~ 18:30

La distribución de pesos de códigos cíclicos definidos por formas cuadráticas y curvas optimales asociadas

Videla, Denis

Los códigos cíclicos son una de las familias más importantes de códigos lineales. En esta charla, introduciremos ciertos códigos cíclicos definidos a través de formas cuadráticas en varias variables sobre $\mathbb{F}_{q}$ (el cuerpo finito de $q$ elementos) de la forma $Q(x) = \mathrm{Tr}_{q^m/q} (S(x)R(x))$ donde $S,R$ son polinomios linealizados y $\mathrm{Tr}_{q^m/q}$ denota la función traza de $\mathbb{F}_{q^m}$ en $\mathbb{F}_{q}$. Usando sumas exponenciales, que podemos calcular explícitamente, veremos que la distribución de pesos de estos códigos queda totalmente determinada por $m, q$ y la distribución de rangos y tipos de dichas formas cuadráticas. t \smallskip Luego, para cada $\ell \in \mathbb{N}$ fijo, consideraremos la formas cuadrática particular dada por $$Q_{\lambda}(x)=\mathrm{Tr}_{m}(\lambda x^{q^\ell+1}), \qquad \lambda\in \mathbb{F}_{q^m}$$ (o sea $S(x)=x$, $R(x) =\lambda x^{q^\ell}$), en el caso $m/(m,\ell)$ es par. %, ya sea para $q$ par como para para $q$ impar. Veremos que es posible encontrar las distribuciones de los rangos de esta familia $\{Q_\lambda\}$ de formas cuadráticas. Esto permitirá calcular la distribución de pesos de 3 familias de códigos cíclicos $C, C_1, C_2$, donde $C$ es el código irreducible con cero $\alpha^{-(q^\ell+1)}$, y $C_1$ y $C_2$ son códigos cíclicos reducibles obtenidos de $C$ agregando los ceros $\alpha^{-1}$ y $\alpha^{-1},1$, respectivamente (donde $\alpha$ es un elemento primitivo de $\mathbb{F}_{q^m}$). t \smallskip Como aplicación, cuando $\ell \mid m$ y $m/(m,\ell)$ es par, encontraremos la cantidad de curvas de tipo Artin-Schreier $$y^p-y=\lambda_{1}x^{p^{\ell}+1}+\lambda_{2}x; \ \ \ \lambda_{1},\lambda_{2}\in \mathbb{F}_{p^m}$$ que son optimales (maximales o minimales), es decir que satisfacen alguna igualdad en la cota de Hasse-Weil. \smallskip Finalmente, si el tiempo lo permite, mostraremos cómo producir grafos de Ramanujan a partir de la forma cuadrática $Q_\lambda(x)$ en el caso binario ($q=2$). Más generalmente, veremos que la construcción mencionada es posible para funciones de la forma $F(x) = \mathrm{Tr}_{q^m/q}(f(x))$, donde $f(x)$ es cualquier función no-lineal casi perfecta (APN, almost perfect nonlinear) monomial de $\mathbb{F}_{q^m}$.t \ Esta charla está basada en un trabajo en curso con mi director Ricardo Podestá, que es parte de la tesis doctoral que presentaré en marzo del año próximo. t

Autores: Videla, Denis / Podesta, Ricardo.