Sesión Análisis

Diciembre 14, 15:30 ~ 15:50

Análisis armónico relativo a pares de Gelfand $(K,\mathbb{H}_n)$, $K \subseteq U(n)$

GALLO, Andrea

tDado $G$ un grupo topológico (localmente compacto y Haussdorff) y $K$ subgrupo compacto de $G$, decimos que el par $(G,K)$ es de Gelfand tsi y solo si el álgebra de convolución de funciones $K$-biinvariantes sobre $G$ es conmutativa.\\ t tSea $G=SO(n) \ltimes \mathbb{R}^{n}$ el grupo de movimientos rígidos de $\mathbb{R}^{n}$. Si $K=SO(n)$, entonces $(G,K)$ tes un par de Gelfand, y el espacio de funciones $K$-biinvariantes sobre $G$ coincide con el espacio de funciones radiales sobre t$\mathbb{R}^{n}$. Si consideramos la representación: t$$\rho: K \ltimes \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathcal{U}(\mathbf{L}^{2}(\mathbb{R}^{n}))$$ t$$\rho(k,0) f(x)=f(k \cdot x,t)$$ t$$\rho(1,y) f(x)=L_{y}f(x)$$ entonces $\rho$ se descompone como \ $\mathbf{L}^{2}(\mathbb{R}^{n}) = \int_{0}^{\infty} H_r r^{n-1} dr$, donde $P_r(f) = f \ast \varphi_r$ \ y \ $\{\varphi_r\}$ es el conjunto de funciones esféricas correspondientes al par $(G,K)$.\\ t tEn este trabajo consideramos $G=K \ltimes \mathbb{H}_n$, donde $\mathbb{H}_n$ es el grupo de Heisenberg y $K$ es un subgrupo de automosfismos de $U(n)$. Observemos que $U(n) \ltimes \mathbb{H}_n$ es el grupo de isometrías de $\mathbb{H}_n$ y $G$ actúa en $\mathbf{L}^{2}(\mathbb{H}_n)$ vía $\rho$ (como antes). En este trabajo descomponemos a $\rho$ como una integral directa de representaciones irreducibles usando el hecho de que $(G,K)$ es par de Gelfand y el conjunto de funciones esféricas asociadas.

Autores: GALLO, Andrea / Saal, Linda.