Sesión Analisis (II)

Diciembre 15, 11:00 ~ 11:40

Petermichl, Calderon y Zygmund

AIMAR, Hugo

En \cite{2}, Stefanie Petermichl prueba una fórmula estructural notable para el núcleo de la Transformada de Hilbert. El núcleo $\frac{1}{x-y}$ se puede escribir como un valor medio de dilataciones y traslaciones de un núcleo básico definido en términos de familias diádicas de $\mathbb{R}$. El operador básico de Petermichl sobre $L^2(\mathbb{R})$ está dado por $$ \mathcal{P}f(x)=\sum_{I\in\mathcal{D}}\langle f,h_I\rangle\left[h_{I^-}(x)-h_{I^+}(x)\right], $$ \noindent donde $h_I$ es la función de Haar soportada en $I$ y $\langle f,h_I\rangle=\int_{\mathbb{R}} f(y)h_I(y)\, dy$. El núcleo de $\mathcal{P}$ está dado por $$ P(x,y)=\sum_{I\in\mathcal{D}}h_I(y)\left(h_{I^-}(x)-h_{I^+}(x)\right), $$ \noindent que no es simétrico ni de convolución. \\ Las diferencias entre $P(x,y)$ y $\frac{1}{x-y}$ son evidentes y la mirada Petermichl del operador de Hilbert es muy útil por la simplicidad estructural del análisis diádico. En este sentido podría pensarse que la de Petermichl es una aproximación exterior a los núcleos de Calderón y Zygmund. En este trabajo demostraremos que no es así. Es decir, en un contexto adecuado, $P(x,y)$ también es un núcleo de Calderón y Zygmund y tiene entonces todas las propiedades de acotación y tipo que son propios de la gran familia. \textbf{Teorema.} \begin{itemize} \item[a)] Existe $\delta$ en $\mathbb{R}^+$ tal que $(\mathbb{R}^+, \delta,|\cdot|)$ es un espacio de tipo homogéneo normal y $P(x,y)=\frac{\Omega(x,y)}{\delta(x,y)}$ con $\Omega$ acotado, $\delta$-suave y diádicamente homogéneo de grado cero. \item[b)] $P$ es un núcleo de Calderón-Zygmund en $(\mathbb{R}^+,\delta,|\cdot|)$ en el sentido de \cite{1}. \item[c)] Si $w\in A_p^{dy}(\mathbb{R}^+)$ entonces los operadores maximales de las truncaciones de la serie de Petermichl y de las truncaciones del núcleo $P$ son ambos acotados en $L^p(\mathbb{R}^+, dx)$. \end{itemize} \begin{thebibliography}{99} \bibitem{1} \textsc{Hugo Aimar}, \textit{Integrales singulares y aproximaciones de la identidad en espacios de tipo homogéneo}. 1983. Tesis UBA (PEMA-INTEC). \bibitem{2} \textsc{Stefanie, Petermichl}, \textit{Dyadic shifts and a logarithmic estimate for Hankel operators with matrix symbol}. C.R. Acad. Sci. Paris Sér. I Math, 330(b): 455-460, 2000. \end{thebibliography}

Autores: AIMAR, Hugo / Gómez, Ivana.