Sesión Análisis

Diciembre 14, 17:50 ~ 18:10

Desigualdades Maximales para el Operador de Mejor Aproximación

LORENZO, Rosa Alejandra

Sea $\Omega$ un subconjunto medible y acotado de $\mathbb{R}^{n}$. Sea $\Phi$ el conjunto de todas las funciones medibles $\varphi: [0,\infty) \rightarrow [0,\infty)$. Para cada función medible $\varphi$ convexa, tal que $\varphi(0)=0$, $\varphi(x)\rightarrow\infty$ cuando $x\rightarrow\infty$ y $\varphi(x)>0$ para $x>0$, se define el espacio de funciones medibles $$L^{\varphi}(\Omega)=\{ f \mbox{medibles}: \int_{\Omega}\varphi(\lambda|f(x)|)dx<\infty, \mbox{para algún}\;\lambda>0\}$$ Este espacio es llamado el Espacio de Orlicz determinado por $\varphi$. Anteriormente se demostró bajo ciertas condiciones que dada una función $f$ en el espacio $L^{\varphi^{+}}_{loc}(\mathbb{R}^{n})$ se tienen las estimaciones siguientes \begin{equation} \begin{split} {1\over C}\varphi^{+}(|f_{\epsilon}(x)|)\leq{1\over |B_{\epsilon}(x)|}\int_{B_{\epsilon}(x)}\varphi^{-}(|f(y)|)dy\leqslant C_{1}\varphi^{+}(|f|_{\epsilon}(x)) \end{split} \end{equation} % \begin{equation} \begin{split} {1\over C}\varphi^{+}(|f_{\epsilon}(x)-f(x)|)\leq{1\over |B_{\epsilon}(x)|}\int_{B_{\epsilon}(x)}\varphi^{-}(|f(y)-f(x)|)dy \end{split} \end{equation} donde $f_{\epsilon}(x)$ denota cualquier constante del conjunto de mejores aproximante extendido $\mu_{\varphi^{+}}^{\epsilon}(f)$ y $\varphi^{+}$ y $\varphi^{-}$ son la derivada por derecha y por izquierda respectivamente de $\varphi$. En el presente trabajo obtenemos una aplicación a partir de (1) para funciones en $L^{\varphi^{+}}_{loc}(\mathbb{R}^{n})$ del tipo \begin{equation} \varphi^{+}(\mathcal{M}f(x))\leqslant k^{4}M_{H}(\varphi^{+}\circ f)(x) \end{equation} donde $\mathcal{M}f(x)=\sup_{\epsilon>0}\{|f_{\epsilon}(x)|: f_{\epsilon}(x)\in\mu_{\varphi^{+}}^{\epsilon}(f)(x)\}$ y el operador maximal de Hardy-Littlewood $M_{H}(f)(x)=\sup_{\epsilon>0}{1\over|B_{\epsilon}(x)|}\int_{B_{\epsilon}(x)}|f(y)|dy$. Obtenemos además una extensión del trabajo de Favier y Zó [FZ] al considerar funciones $\varphi$ sin condiciones de suavidad como la desigualdad de tipo fuerte \begin{equation} \int_{\mathbb{R}^{n}}\psi(\varphi^{+}(\mathcal{M}f(x)))dx\leqslant C\int_{\mathbb{R}^{n}}\psi(C\varphi^{+}(f(x)))dx \end{equation} donde la constante $C$ depende de las funciones $\varphi$ y de la complementaria $\psi$. Finalmente, como aplicación del resultado anterior obtenemos una desigualdad fuerte sobre la función $\varphi\in\nabla_{2}$. \begin{equation} \int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi(\mathcal{M}f(x))dx\leqslant C\int_{\mathbb{R}^{n}}\varphi(f(x))dx \end{equation} para una función $f\in L^{\varphi}(\mathbb{R}^{n})$. \textbf{Referencias} [FZ] S. Favier, F.Zó, \emph{A Lebesgue Type Differentiation Theorem for Best Approximations by Constants in Orlicz Spaces.} Real Analysis Exchange, \textbf{30,1}: 29-42, 2004/2005.

Autores: LORENZO, Rosa Alejandra / FAVIER, Sergio.