Sesión Estadística y sus Aplicaciones

Diciembre 12, 16:10 ~ 16:30

MM-estimadores bajo un modelo de regresión lineal semi-funcional

VENA, Pablo

Bajo el modelo de regresión lineal semi-funcional, la respuesta se modela linealmente con una covariable funcional y de forma no paramétrica en una covariable univariada: $ y = \int_{\mathcal{T}} \beta(t) \, X(t)\,dt + \eta(z) + \varepsilon$. Qingguo (2015) propone un M-estimador robusto frente a datos atípicos en la respuesta. Su propuesta consiste en proyectar la covariable funcional $X(t)$ y la pendiente $\beta(t)$ en la base de las primeras $k$ autofunciones $\{\hat\phi_i(t)\}_{i=1}^k$ del operador de covarianza clásico estimado y proyectar en una base $\{B_i(z)\}_{i=1}^p$ de B-splines para la parte no paramétrica. Así, $\int_{\mathcal{T}} \beta(t) X(t) \,dt \approx \sum_{j=1}^k b_j \langle X(t), \hat\phi_{j}(t) \rangle $, $\eta(z) \approx \sum_{j=1}^p g_j B(z)$ y luego se minimiza una función de pérdida convexa: $$(\mathbf{b}, \mathbf{g}) = argmin \sum_{i=1}^n \rho \left (y_i - \sum_{j=1}^k b_j \langle X_i(t), \hat\phi_j(t)\rangle - \sum_{j=1}^p g_j B_j(z_i)\right ) \,.$$ Entonces se obtiene $\hat\beta(t) = \sum_{j=1}^k b_j \hat\phi_j(t)$ y $\hat\eta(z) = \sum_{j=1}^p g_j B_j(z)$. Estos estimadores no resultan equivariantes por transformaciones de escala y la función de pérdida convexa no considera datos atípicos en las covariables. A su vez la presencia de outliers en la covariable funcional puede afectar la estimación por haber usado las componentes principales clásicas. Para superar estas desventajas proponemos MM-estimadores (Yohai, 1987) que se obtienen proyectando la covariable funcional en la base de autofunciones del operador de covarianza esférico estimado (Gervini, 2008) y aproximando la componente no paramétrica usando B-splines. Simulaciones numéricas muestran las ventajas de la metodología propuesta para muestras finitas bajo diferentes esquemas de contaminación. La propuesta se ilustra con un conjunto de datos espectrométricos donde el estimador robusto revela datos atípicos que habrían sido omitidos de otra manera. \vspace{.5cm} \noindent\textbf{Bibliograf\'{\i}a} \begin{description} \item Gervini, D. (2008). Robust functional estimation using the median and spherical principal components. Biometrika, 95(3), 587-600. \item Qingguo, T. (2015). Estimation for semi-functional linear regression. Statistics, 49(6), 1262-1278. \item Yohai, V. J. (1987). High breakdown-point and high efficiency robust estimates for regression. The Annals of Statistics, 642-656. \end{description}

Autores: VENA, Pablo / Boente, Graciela / Salibián Barrera, Matías .