Sesión Geometría y Topología
Diciembre 15, 11:00 ~ 11:20
Holonomía de la conexión de Bismut en solvariedades Vaisman
ANDRADA, Adrián
Una variedad hermitiana $(M,J,g)$ se dice localmente conforme K\"ahler (LCK) si alrededor de cada punto de $M$, la métrica $g$ es conforme a una métrica K\"ahler con respecto a $J$. Equivalentemente, existe una $1$-forma cerrada $\theta$ en $M$ tal que $d\omega=\theta\wedge\omega$, donde $\omega$ denota la $2$-forma fundamental asociada a $(J,g)$, definida por $\omega(\cdot,\cdot)=g(J\cdot,\cdot)$. La $1$-forma $\theta$ se llama la forma de Lee. Una familia muy importante de variedades LCK está dada por aquellas que tienen su forma de Lee paralela (con respecto a la conexión de Levi-Civita $\nabla^g$). Estas variedades se denominan variedades Vaisman y han sido muy estudiadas recientemente. Por otro lado, toda variedad hermitiana $(M^{2n},J,g)$ admite una única conexión $\nabla^b$ que cumple $\nabla^bJ=0$, $\nabla^bg=0$ y su torsión $T^b$ es totalmente antisimétrica, es decir, $c(X,Y,Z)=g(X,T^b(Y,Z))$ es una $3$-forma en $M$. La conexión $\nabla^b$ es denominada la conexión de Bismut, y posee holonomía contenida en $U(n)$. En este trabajo estudiamos la holonomía de la conexión de Bismut en solvariedades Vaisman, es decir, en cocientes compactos de la forma $\Gamma\backslash G$, donde $G$ es un grupo de Lie soluble simplemente conexo, y $\Gamma$ es un subgrupo discreto de $G$. Se asume que la estructura Vaisman en $\Gamma\backslash G$ está inducida por una estructura Vaisman invariante a izquierda en $G$. En este caso, probamos que la holonomía (restringida) de $\nabla^b$ se reduce a un subgrupo de dimensión 1 de $U(n)$, que no está contenido en $SU(n)$. Para demostrarlo, exhibimos primero algunos resultados generales sobre la conexión de Bismut en variedades Vaisman arbitrarias, y luego utilizamos la caracterización de las álgebras de Lie unimodulares solubles que admiten estructuras Vaisman, dada en \cite{AO}. \begin{thebibliography}{99} \bibitem{AO} A. Andrada and M. Origlia, Vaisman solvmanifolds and relations with other geometric structures, preprint 2017, arXiv:1709.01567. \end{thebibliography}
Autores: ANDRADA, Adrián / VILLACAMPA, Raquel.