Sesión Analisis (II)

Diciembre 13, 12:00 ~ 12:20

Una generalización del operador ultra-hiperbólico de las ondas con derivada fraccionaria en el tiempo

DORREGO, Gustavo Abel

En esta comunicación se presenta una generalización n-dimensional de la ecuación de difusión-onda, donde el operador Laplaciano es reemplazado por el operador ultra-hiperbólico y la derivada en la variable temporal es tomada en el sentido de la derivada fracionaria de Hilfer. La solución analítica es obtenida en términos de la función H de Fox, para lo cual se calcula la transformada inversa de Fourier de una función de Mittag-Leffler que contiene en su argumento una forma cuadrática definida positiva. \vspace{0,5cm} Precisamente se resuelve el siguiente problema \begin{equation}\label{8} \left\{ \begin{array}{ll} D_t^{\alpha,r}u(x,t)-c^2\Box u(x,t)=0, & \hbox{$t>0$; $x\in D$} \\ I^{(2-\alpha)(1-r)}u(x,t)|_{t=0}=f(x);\\ \frac{\partial}{\partial t}I^{(2-\alpha)(1-r)}u(x,t)|_{t=0}=g(x). \end{array} \right. \end{equation} donde $D_t^{\alpha,r}$ es la derivada de Hilfer de orden $0<\alpha\leq2$, y tipo $0\leq r\leq 1$, el operador $\Box$ está definido por \begin{equation} \Box=\left(\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+...+\frac{\partial^2}{\partial x_\mu^2}-\frac{\partial^2}{\partial x_{\mu+1}^2}-...-\frac{\partial^2}{\partial x_{\mu+\nu}^2}\right), \end{equation} $\mu+\nu=n$ es la dimensión del espacio euclidiana $\mathbb{R}^n$, $f,g$ funciones que pertenecen al espacio de Schwartz y $D$ viene dado por \begin{equation} D=\{(x_1,...x_\mu,...x_{\mu+\nu})\in\mathbb{R}^n: \mu+\nu=n,\, x_1^2+x_2^2+...+x_\mu^2\geq x_{\mu+1}^2+...+x_{\mu+\nu}^2\} \end{equation} La solución viene dada por \begin{eqnarray}\label{+} u(x,t)&=&\frac{i^\nu t^{(1-r)\alpha+2r-2}}{\left(4\pi c^2t^{\alpha}\right)^{\frac{n}{2}}}\nonumber\\ &\times&H_{1,2}^{2,0}\left(\frac{\|x\|_{\mu,\nu}^2}{4c^2t^\alpha}\left|\begin{array}{cc} ((1-r)\alpha+2r-1-\frac{n\alpha}{2},\alpha) \\ (1-\frac{n}{2},1),(0,1) \end{array} \right.\right)\ast f(x)\nonumber\\ &+&\frac{i^\nu t^{(1-r)\alpha+2r-1}}{\left(4\pi c^2t^{\alpha}\right)^{\frac{n}{2}}}\nonumber\\ &\times&H_{1,2}^{2,0}\left(\frac{\|x\|_{\mu,\nu}^2}{4c^2t^\alpha}\left|\begin{array}{cc} ((1-r)\alpha+2r-\frac{n\alpha}{2},\alpha) \\ (1-\frac{n}{2},1),(0,1) \end{array} \right.\right)\ast g(x) \end{eqnarray} siempre que $x_1^2+x_2^2+...+x_\mu^2\geq x_{\mu+1}^2+...+x_{\mu+\nu}^2$. Interesantes casos particulares pueden ser obtenidos particularizando el valor de los parámetros de la derivada.

Autores: DORREGO, Gustavo Abel.