Sesión Análisis

Diciembre 14, 16:30 ~ 16:50

Problemas de suavizado en espacios de Krein

GONZÁLEZ ZERBO, Santiago

Dada una partición de $[0,1]$, $0\leq t_1\leq\ldots\leq t_n\leq 1$ y números (reales o complejos) $z_1,\ldots,z_n$, el problema de suavizado (smoothing) consiste en encontrar una función $\sigma\in C^2([0,1])$ tal que el valor de la forma cuadrática \[ \int_0^1 |\sigma''(t)|^2 dt + \rho \sum_{k=1}^n |\sigma(t_k)-z_k|^2, \] sea mínimo (donde $\rho>0$ es un parámetro dado). Las soluciones a este problema son conocidas como ``splines suavizantes'', y tienen aplicaciones en diversas ramas de la matemática como teor\'{\i}a de aproximación, estad\'{\i}stica, análisis numérico, etc. También han sido una herramienta muy útil para resolver varios aspectos prácticos en el procesamiento de señales y de imágenes, teor\'{\i}a del aprendizaje, etc. En los 1960's, M. Atteia introdujo la noción de spline para resover un problema de suavizado abstracto en espacios de Hilbert. Dados espacios de Hilbert $\mathcal{H}$, $\mathcal{K}$ y $\mathcal{E}$, consideremos dos operadores lineales $T: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{K}$ y $V: \mathcal{H}\rightarrow \mathcal{E}$ (suryectivos). Fijado un parámetro $\rho>0$ y dado un $z_0\in \mathcal{E}$, el problema de suavizado abstracto consiste en minimizar la funcional cuadrática (definida positiva) \[ F(x)=\|Tx\|^2_\mathcal{K} + \rho \|Vx-z_0\|^2_\mathcal{E}. \] En esta charla, motivados principalmente por las ideas de Atteia, presentaremos una generalización del problema de suavizado a espacios de Krein. Más precisamente, si ahora $\mathcal{K}$ y $\mathcal{E}$ son espacios de Krein, nos interesa minimizar (de ser posible) la forma cuadrática indefinida dada por \[ G(x)=[Tx, Tx]_\mathcal{K} + \rho [ Vx-z_0, Vx-z_0]_\mathcal{E}, \] donde $z_0\in \mathcal{E}$ es un punto dado.

Autores: GONZÁLEZ ZERBO, Santiago / MARTÍNEZ PERÍA, Francisco.