Sesión Análisis

Diciembre 14, 18:10 ~ 18:30

Esfera y espacio proyectivo de una $C^*$-álgebra con un estado fiel

Antúnez, Andrea

Sean $\mathcal{A}$ una $C^*$-álgebra unital, $1$ unidad en $\mathcal{A}$ y $\varphi:\mathcal{A}\rightarrow \mathbb{C}$ un estado fiel sobre $\mathcal{A}$. Definimos la esfera en $\mathcal{A}$ asociada a $\varphi$ como el conjunto: \[\mathbb{S}_\varphi:= \{x\in \mathcal{A}: \varphi (x^* x)=1\}\] Luego, el espacio proyectivo de $\mathcal{A}$ se define por: \[ \mathbb{P}_\varphi=\mathbb{S}_\varphi / \sim\] donde $x\sim x'$ si existe $\lambda\in \mathbb{C}, |\lambda|=1$ tal que $x'=\lambda x$. Sobre $\mathcal{A}$ está definida la norma usual $\Vert x\Vert= (x^*x)^\frac{1}{2}$ para la cual $\mathcal{A}$ resulta un $\mathcal{A}$-módulo de Hilbert con el producto interno $\langle x,y \rangle= x^*y$. Por otro lado, la existencia de un estado fiel permite definir la norma dada por $\Vert x\Vert_2= \varphi(x^* x)^{\frac{1}{2}}$, asociada al producto interno $\langle x,y \rangle_\varphi= \varphi(x^*y)$. Bajo esta estructura de pre-módulo de Hilbert, se dice que un operador acotado $T: \mathcal{A}\rightarrow \mathcal{A}$ es adjuntable si existe $T^\sharp: \mathcal{A}\rightarrow \mathcal{A}$ acotado tal que $$\varphi((Tx)^*y)=\varphi(x^*(T^\sharp y)).$$ En el presente trabajo, se mostrarán algunas características geométricas particulares de $\mathbb{S}_\varphi$ como variedad diferencial de $\mathcal{A}$ y como espacio homogéneo del grupo de operadores $$ Gl_u(\mathcal{A})=\{G\in Gl(\mathcal{A}): G^\sharp=G^{-1}\}$$ bajo la acción $\pi(G,x)= G(x)$, $G\in Gl_u(\mathcal{A})$. Además, estableceremos propiedades de estos espacios de operadores y, posteriormente presentaremos avances en el estudio del espacio proyectivo $\mathbb{P}_\varphi$. En [1],[2] y [3] los autores han estudiado algunas propiedades de la estructura diferencial y métrica de espacios homógeneos bajo la acción de ciertos grupos de operadores y han avanzado sobre características tanto del espacio homogéneo como del grupo que actúa sobre el mismo. En algunos casos, se ha utilizado como herramienta la estructura de módulo de Hilbert de estos conjuntos. Sin embargo, sólo en algunas situaciones particulares fue posible hallar curvas minimales o localmente minimales para la métrica de Finsler asociada a esta estructura. El objetivo central será describir una estructura sobre la esfera y el espacio proyectivo que permita definir una métrica y poder analizar la existencia y unicidad de curvas minimales (o localmente minimales) entre todas las curvas que unen los mismos puntos extremales. $$ $$ \underline{Referencias}: \begin{enumerate} \item[ [1\!\!\!] ]\: Andruchow, E., Corach, G., Stojanoff, D. (1999). \textit{Geometry of the sphere of a Hilbert module.} In Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society (Vol. 127, No. 02, pp. 295-315). Cambridge University Press. \item[ [2\!\!\!] ]\: Andruchow, E., Varela, A. (2007). \textit{Metrics in the sphere of a C*-module}. Open Mathematics, 5(4), 639-653. \item[ [3\!\!\!] ]\: Andruchow, E., Recht, L., Varela, A. (2007). \textit{Metric geodesics of isometries in a Hilbert space and the extension problem.} Proceedings of the American Mathematical Society, 135(8), 2527-2537. \end{enumerate}

Autores: Antúnez, Andrea.