Sesión Análisis

Diciembre 12, 18:30 ~ 18:50

Estructura de las curvas cortas con respecto a la métrica de Finsler inducida por la norma traza.

Ghiglioni, Eduardo Mario

Sea $\mathcal{H}(n)$ el álgebra de matrices complejas Hermitianas de tamaño $n \times n$. Dadas dos matrices $A, B \in \mathcal{H}(n)$ y una curva $\alpha : [0, 1] \rightarrow \mathcal{H}(n)$ tal que $\alpha(0) = A, \alpha(1) = B$, podemos medir la longitud de esta curva de la siguiente manera: \begin{equation}\label{uno} \ell_{\mathcal{H}}(\alpha) = \int_{0}^{1} \left\|\dot{\alpha}(t)\right\|_1 dt, \end{equation} donde $\left\|\cdot\right\|_1$ es la norma traza. En este contexto es posible probar que el segmento $\alpha(t) = (1-t)A + tB$ es una curva corta que une la matriz $A$ con la matriz $B$. Sin embargo, no son las únicas, y de hecho, es posible caracterizar todas las curvas cortas que unen estas matrices. \\ \indent Por otro lado, sea $\mathcal{P}(n)$ el conjunto de matrices (estrictamente) positivas. Este conjunto es un cono abierto de $\mathcal{H}(n)$, por lo tanto, los espacios tangentes en cada punto se pueden identificar con $\mathcal{H}(n)$. Las matrices inversibles actúan en $\mathcal{P}(n)$ de manera natural por conjugación. Dicha acción es transitiva e induce una estructura métrica dada por $$ ds=\|A^{-1/2}dA\, A^{-1/2}\|_1, $$ es decir, la longitud de una curva $\gamma:[0,1]\to\mathcal{P}$ se define como $$ \ell_{\mathcal{P}}(\gamma)=\int_0^1 \|\gamma^{-1/2}(t)\,\dot{\gamma}(t)\, \gamma^{-1/2}(t)\|_1\,dt. $$ Con esta estructura métrica, la acción de los inversibles resulta isométrica. Como consecuencia de este cambio, el espacio $\mathcal{P}(n)$ resulta un espacio de curvatura no positiva (NPC). Las curvas cortas también cambian, aunque al igual que en el caso de $\mathcal{H}(n)$, se ve que en general puede existir más de una. En esta charla discutiremos una caracterización de dichas curvas cortas, la cual pasa por relacionar las curvas cortas en $\mathcal{P}(n)$ con las de $\mathcal{H}(n)$ utilizando la función exponencial. Asimismo, mostraremos como la misma idea se puede utilizar en el grupo de Lie de las matrices unitarias $U \in \mathcal{U}(n)$, donde la longitud de una curva en $\mathcal{U}$ se mide como en (1). No obstante, debido a que la curvatura de este espacio es no negativa, si bien el método permite construir familias de curvas cortas, no permite probar que dichas familias son todas. En ambos casos, las técnicas utilizadas provienen de la teoría espectral de matrices normales, y en particular, de ciertas desigualdades de matrices. \begin{thebibliography}{label} \bibitem{[Andruchow]} Andruchow, E.: Short geodesics of unitaries in the L2 metric. Canad. Math. Bull. 48(3), 340–354 (2005) \bibitem{[Antezana]} J. Antezana, G. Larotonda and A. Varela, Optimal paths for symmetric actions in the unitary group. Communications in Mathematical Physics. Springer. \end{thebibliography}

Autores: Ghiglioni, Eduardo Mario / Antezana, Jorge Abel / Stojanoff, Demetrio.