Sesión Geometría y Topología

Diciembre 12, 18:10 ~ 18:30

La topología de los posets de p-subgrupos

Piterman, Kevin Ivan

Los posets Sp(G) y Ap(G) de los p-subgrupos no triviales y los p-subgrupos elementales abelianos no triviales de un grupo finito G, fueron introducidos por K. Brown y D. Quillen en los años 70 motivados por el estudio de la cohomología equivariante. Existe una profunda relación entre las propiedades de estos posets (combinatorias), la de los complejos simpliciales asociados a ellos (topológicas) y las propiedades del grupo G (algebraicas). Por ejemplo, una conjetura muy conocida de Quillen afirma que si el complejo simplicial asociado a Sp(G) es contráctil, entonces G posee un p-subgrupo normal no trivial. Aunque ha habido importantes avances en la conjetura de Quillen, especialmente por los trabajos de M. Aschbacher y S. D. Smith, la formulación general sigue abierta. Por otro lado, existen numerosas preguntas abiertas en términos de estos posets y sus complejos simpliciales asociados. El enfoque estándar para atacar esta preguntas es, por un lado, mediante el estudio topológico de los complejos asociados a estos posets, y por el lado algebraico, el uso de la clasificación de los grupos finitos simples. En los años 80, R. E. Stong investigó los posets Sp(G) y Ap(G) desde el punto de vista de los espacios topológicos finitos. Esto le permitió reformular la conjetura de Quillen en términos de espacios finitos y dar un enfoque novedoso para el estudio de estos posets. En esta charla, recordaré algunos de los resultados más relevantes de este tema y exhibiré algunos resultados nuevos que obtuvimos recientemente en colaboración con Gabriel Minian. Estos resultados tuvieron como punto de partida el trabajo previo de Stong y un trabajo (más reciente) de J. Barmak. Responderé una pregunta de Stong sobre la contractibilidad de Ap(G) (como espacio finito) en términos algebraicos y comentaré algunos de los problemas en los que estamos trabajando actualmente.

Autores: Piterman, Kevin Ivan.