Sesión Análisis

Diciembre 15, 15:50 ~ 16:10

Minimizadores locales de distancias al operador de marco

RIOS, Noelia Belén

Sean $S$ una matriz positiva en $\mathbb C^{d\times d}$ y $\mathbf{a}=(a_i)_{i=1}^k$ un vector de entradas reales positivas ordenado de manera no creciente. Se define el conjunto de las familias de vectores con normas predeterminadas por $\mathbf{a}$, como $$ \mathbb{T}_{d}(\mathbf{a}) := \{ \mathcal G=\{g_i\}_{i=1}^k \in (\mathbb C^d)^{k} \ : \left\|g_{i}\right\|^2=a_i, \,\, \forall i=1,\cdots, k\}. $$ La \textit{distancia al operador de marco} se define como la función $\Phi_{(S,a)}=\Phi:\mathbb{T}_{d}(\mathbf{a})\rightarrow \mathbb R_{\geq 0}$ dada por $$ \Phi(\mathcal G)=\left\|S-S_{\mathcal G}\right\|_2, $$ donde $S_{\mathcal G}=\sum_{i=1}^k g_i \otimes g_i$ es el operador de marco de la familia $\mathcal G$, y $\left\|\cdot\right\|_2$ es la norma Frobenius de matrices. Suponiendo que $k\geq d$ y que el vector $\mathbf{a}$ está mayorizado por el espectro de la matriz $S$, N. Strawn conjeturó en \cite{strawn} que los minimizadores locales de $\Phi$ en $\mathbb{T}_{d}(\mathbf{a})$ son minimizadores globales. Recientemente fue probado en \cite{dnp} que la conjetura es verdadera, como una aplicación de un problema de completaciones de marcos con normas predeterminadas, incluso sin la hipótesis de mayorización y de que $k\geq d$. La conjetura de Strawn puede generalizarse de la siguiente manera; para $S$ una matriz positiva en $\mathbb C^{d\times d}$, $\mathbf{a}=(a_i)_{i=1}^k$ un vector de entradas reales positivas ordenado de manera no creciente, y $N$ una norma unitariamente invariante estrictamente convexa, se define la función \textit{distancia al operador de marco generalizada}, $\Phi_{(N,S,a)}=\Phi_N:\mathbb{T}_{d}(\mathbf{a})\rightarrow \mathbb R_{\geq 0}$ dada por $$ \Phi_N(\mathcal G)=N(S-S_{\mathcal G}). $$ La pregunta ahora es si los minimizadores locales de $\Phi_N$ en $\mathbb{T}_{d}(\mathbf{a})$ son glo\-ba\-les. En esta charla contaremos algunos resultados obtenidos sobre los minimizadores locales y los minimizadores globales de dicha función, que llevan a pensar que la conjetura también es verdadera en este caso. \begin{thebibliography}{99} \bibitem {dnp} P. Massey, N. B. Rios, D. Stojanoff; \textit{Frame completions with prescribed norms: local minimizers and applications}. Advances in Computational Mathematics (2017), https:\/doi.org/10.1007/s10444-017-9535-y. \bibitem {strawn} N. Strawn; \textit{Optimization over finite frame varieties and structured dictionary design}, Appl. Comput. Harmon. Anal. 32 (2012) 413-434. \end{thebibliography}

Autores: RIOS, Noelia Belén / MASSEY, Pedro Gustavo / Stojanoff, Demetrio.