Sesión Análisis Numérico y Optimización

Diciembre 15, 11:40 ~ 12:00

Aproximación unificada por elementos finitos mixtos del problema acoplado de Stokes-Darcy.

Stockdale, María Lorena

En este trabajo analizamos la aproximación por elementos finitos mixtos del par velocidad-presión del problema acoplado de Stokes-Darcy en un dominio bidimensional. Este problema describe el movimiento de un fluido viscoso incompresible que ocupa una región $\Omega_S$ (regido por las ecuaciones de Stokes), que fluye a través de una interfase a un medio poroso $\Omega_D$ saturado con el mismo fluido (gobernado por las ecuaciones de Darcy). El desarrollo de métodos numéricos eficientes para aproximar la solución al problema de Stokes, al problema de Darcy y, en particular, al problema acoplado, ha ido en aumento en los últimos años debido a su importancia en hidrología, dinámica de fluidos y en diferentes problemas de filtración. Sea $\Omega$ un dominio abierto y acotado en el plano, dividido en dos subdominios $\Omega_S$ y $\Omega_D$ (donde los índices $S$ y $D$ representan fluido y poroso respectivamente). Llamamos $\Gamma$ a la interfase entre el fluido y el medio poroso, $\Gamma_S = \partial \Omega_S \setminus \Gamma$, $\Gamma_D = \partial \Omega_D \setminus \Gamma$ y denotamos $\boldsymbol{n}_S$, $\boldsymbol{n}_D$ a los vectores normales unitarios, con orientación exterior, en $\partial \Omega_S$ y en $\partial \Omega_D$ respectivamente. Nuestro problema es entonces hallar la velocidad $\mathbf{v}$ y la presión $p$ del fluido tal que: \begin{equation*}\label{Stokes-equations} \left\{ \begin{aligned} -\mu \Delta \mathbf{u}_S+ \nabla p_S &= \mathbf{f}_S, \mbox{ en } \Omega_S,\\ \mbox{ div } \mathbf{u}_S &= 0, \mbox{ en } \Omega_S,\\ \mathbf{u}_S &= 0, \mbox{ en } \Gamma_S, \end{aligned} \right. \end{equation*} \begin{equation*}\label{Darcy-equations} \left\{ \begin{aligned} \frac {\mu}{K} \mathbf{u}_D + \nabla p_D &= \mathbf{f}_D, \mbox{ en } \Omega_D,\\ \mbox{ div } \mathbf{u}_D &= g_D, \mbox{ en } \Omega_D,\\ \mathbf{u}_D \cdot \boldsymbol{n_D} &= 0, \mbox{ en } \Gamma_D, \end{aligned} \right. \end{equation*} \begin{equation*}\label{Interf-equations} \left\{ \begin{aligned} \mathbf{u}_D \cdot \boldsymbol{n}_D + \mathbf{u}_S \cdot \boldsymbol{n}_S &=0 \mbox{ en } \Gamma,\\ p_S \, \boldsymbol{n}_{S} - \mu \nabla \mathbf{u}_S \, \boldsymbol{n}_{S} - p_D \, \boldsymbol{n}_{S}- \mu\frac{\alpha}{\sqrt{K}} (\mathbf{u}_S \cdot \boldsymbol{t} )\, \boldsymbol{t} &=0, \mbox{ en } \Gamma,\\ \end{aligned} \right. \end{equation*} donde $\mathbf{f}_S \mbox{ y } \mathbf{f}_D$ representan la fuerza por unidad de masa, $\mu>0$ la viscosidad, $g_D$ una fuente, $K$ el tensor de permeabilidad, $\alpha$ un parámetro determinado experimentalmente y $\boldsymbol{t}$ el vector tangente en $\Gamma$. Es sabido que, las aproximaciones por elementos finitos estables para el problema de Stokes pueden no ser apropiadas para el problema de Darcy (y por ende para el problema de Stokes-Darcy acoplado), por lo que comúnmente se usan espacios diferentes para las discretizaciones correspondientes a las regiones de Darcy y de Stokes. En este trabajo proponemos una modicación del problema de Darcy que nos permite aplicar el clásico Mini-element a todo el problema acoplado de Stokes-Darcy. Demostramos que el método propuesto es incondicionalmente estable, tiene una precisión óptima con respecto a la regularidad de la solución y una fácil implementación. Presentamos también experimentos numéricos que confirman la estabilidad y exactitud del método propuesto, el cual es probablemente uno de los métodos más sencillos para la aproximación unificada y continua en $\Omega_S \cup \Omega_D$ del sistema acoplado.

Autores: ARMENTANO, María Gabriela / Stockdale, María Lorena.