Sesión Análisis

Diciembre 14, 11:20 ~ 11:40

Operadores bilineales hipercíclicos

Cardeccia, Rodrigo

La noción de operadores bilineales hipercíclicos fue introducida para generalizar el concepto de hiperciclicidad de operadores lineales a operadores bilineales. Recordemos que un operador $T$, actuando sobre un espacio de Fréchet $X$, se dice hipercíclico si existe $x\in X$ tal que $Orb_T(x):=\{T^n(x):n\in\mathbb N\}$ es denso en $X$. Los primeros en estudiar dicho problema fueron Grosse-Erdmann y Kim en [2], donde definen la propiedad de bihiperciclicidad . Sin embargo, la noción de órbita inducida por un operador bilineal no es canónica. Posteriormente, Bés y Conejero definen otra noción de órbita inspirados por las relaciones dadas por recurrencia [1]. La órbita con condiciones iniciales $x,y$ se define como $Orb_M(x,y):=\cup_n \{x_n\}$, donde $x_n$ es la sucesión $$\begin{cases} x_1=x;\\ x_2=y;\\ x_{n+1}=M(x_n,x_{n-1}). \end{cases}$$ Un operador bilineal se dice hiper\'ciclico si existe una órbita densa en el espacio. En [1] los autores muestran ejemplos de operadores bilineales hipercíclicos en algunos espacios de Fréchet (no normables) y prueban que en todo espacio de Fréchet separable y de dimensión infinita existen operadores bilineales supercíclicos (esto es $\overline{\mathbb C Orb_M(x,y)}=X$). En esta charla estudiaremos la propiedad de hipercíclidad para operadores bilineales mostrando un ejemplo sencillo y natural de un operador bilineal hipercíclico sobre $c_0$. Finalmente generalizaremos la construcción a cualquier espacio de Fréchet separable y de dimensión infinita. \begin{thebibliography}{99} \bibitem{BesCon14} J. Bés and J. A. Conejero. {An extension of hypercyclicity for N-linear operators}. \emph{In Abstract and Applied Analysis}, volume 2014. Hindawi Publishing Corporation, 2014. \bibitem{GroKim13} K.-H.Grosse-Erdmann and S.G.Kim. {Bihypercyclic bilinear mappings}. \emph {Journal of Mathematical Analysis and Applications}, 399(2):701–708, 2013. \end{thebibliography}

Autores: Cardeccia, Rodrigo / Muro, Santiago.