Sesión Lógica y Computabilidad

Diciembre 12, 18:10 ~ 18:30

Rotaciones generalizadas de retículos residuados

Busaniche, Manuela

Este es un trabajo en conjunto con M. Marcos y S. Ugolini. \medskip Los retículos residuados conforman las semánticas algebraicas de las lógicas subestructurales. Son retículos residuados las álgebras de Boole, las de Heyting, las MV-álgebras, las BL-álgebras y otras. En este trabajo presentaremos una construcción que permite obtener retículos residuados con un retracto en una MV-álgebra. Dado un retículo residuado (conmutativo y acotado) ${\bf A}$ y una subálgebra ${\bf B}$ de ${\bf A}$ un retracto de ${\bf A}$ en ${\bf B}$ es una morfismo sobreyectivo $f: {\bf A} \rightarrow {\bf B}$ que satisface que $f(f(x))=f(x)$ para todo $x\in {\bf A}.$ Siguiendo algunas ideas presentadas en [1] y [2] para el caso de retículos residuados con un retracto dado por un término en el esqueleto Booleano, en este trabajo caracterizamos ecuacionalmente subvariedades de retículos residuados que admiten un retracto en una MV-álgebra $n$-potente también dado por un término. Son elementos de estas clases la subvariedad de BL-álgebras cuyos elementos regulares son una MV-álgebra $n$-potente, la variedad de álgebras de Nelson regulares, la variedad de álgebras mínimo nilpotente, y la de retículos residuados Stoneanos. Generalizando las ideas de Jenei sobre rotaciones conexas y disconexas ([3]), y la construcción dada en [1], dados un retículo residuado conmutativo ${\bf D}$ y una MV-cadena $n$-potente ${\bf M}$ mostramos cómo construir un retículo residuado acotado ${\bf R_{M}^D}$ al que llamamos rotación por ${\bf M}$ de ${\bf D}$. Si ${\bf M}$ es el álgebra de Boole con dos elementos esta construcción coincide con la rotación disconexa de ${\bf D}$. Probamos que estas rotaciones MV de un retículo ${\bf D}$ son los elementos directamente indescomponibles de la variedad de retículos residuados que admiten una retracción en una MV-álgebra $n$-potente. \begin{thebibliography}{2} \bibitem{CigTor1} Cignoli, R. and Torrens, A., \textit{Free algebras in varieties of Glivenko MTL-algebras satisfying the equation} $2(x^2)=(2x)^2$, Studia Logica 83, 1-25 (2006). \bibitem{CigTor2} Cignoli, R. and Torrens, A., \textit{Varieties of commutative integral bounded residuated lattices admitting a boolean retraction term}, Studia Logica 100, 1107-1136 (2012). \bibitem{Jenei} S. Jenei, \textit{ On the structure of rotation invariant semigroups}, Arch. Math. Logic {\bf 42}, 489-514 (2003). \end{thebibliography}

Autores: Busaniche, Manuela.