Sesión Análisis Numérico y Optimización

Diciembre 12, 16:10 ~ 16:30

Un método de bisección multivariado

LÓPEZ GALVÁN, Alberto Manuel

El teorema de Poincaré-Miranda es la clásica extensión del teorema de Bolzano para $\mathbb{R}^n$, dado el cubo $$K=\lbrace x\in \mathbb{R}^{n} : \vert x_j-\hat{x_j} \vert \leq \rho , \ j=1(1)n\rbrace$$ y sus caras opuestas $$F_i^+=\lbrace x \in K: x_i=\hat{x_i} + \rho \rbrace, \ F_i^-=\lbrace x \in K: x_i=\hat{x_i} - \rho \rbrace, $$ si $\mbox{\bf{F}}=(f_1,f_2,..,f_n): K \rightarrow \mathbb{R}^n$ es un mapa continuo y si $$f_i(x)f_i(y)\leq 0, \ x\in F_i^+, y\in F_i^- \ \forall \ i$$ entonces $\mbox{\bf{F}}$ tiene una raíz en $K$. En esta charla explicaremos como podemos aplicar el teorema de Poincaré-Miranda para extender el conocido método de bisección a $\mathbb{R}^n$. Demostraremos que por medio de el precondicionamiento de $\mbox{\bf{F}}$ podemos garantizar la convergencia local y garantizar una cota para el error. Al mismo tiempo mostraremos una implementación numérica del mismo en el caso bidimensional. \begin{thebibliography}{25} \bibitem{Kulpa} W. Kulpa, The Poincaré-Miranda theorem, Amer. Math. Monthly 104 (1997), no. 6, 2513-2530. \bibitem{Lehmer} D. H. Lehmer, (April 1961), A Machine Method for Solving Polynomial Equations, Journal of the ACM, 8 (2): 151-162. \bibitem{KIOUSTELIDIS} J. B. Kioustelidis, Algorithmic error estimation for approximate solutions of nonlinear systems of equations, Computing, 19 (1978), pp. 313-320. \bibitem{Miranda} C. Miranda, Un'osservazione su un teorema di Brouwer, Boll. Un. Mat. Ital. (2) 3 (1940), 5-7. \bibitem{Poincare1} H. Poincaré, Sur certaines solutions particuli\`eres du probl\`eme des trois corps, C. R. Acad Sci.Paris 97 (1883), 251-252 (French). \bibitem{Poincare2} H. Poincaré, Sur certaines solutions particuli\`eres du probl\`eme des trois corps, Bulletin Astronomique 1 (1884), 65-74 (French). \bibitem{Rouche} N. Rouche and J. Mawhin, Équations Différentielles Ordinaires. Tome I: Théorie Générale, Mason at Cie, Éditeurs, Paris, 1973. \bibitem{Wilf} Herbert S. Wilf (1978), A Global Bisection Algorithm for Computing the Zeros of Polynomials in the Complex Plane, Journal of the ACM, 25 (3). \bibitem{Moore} Moore, R. E. (1966). Interval Analysis. Englewood Cliff, New Jersey. \end{thebibliography}

Autores: LÓPEZ GALVÁN, Alberto Manuel.