Sesión Analisis (II)

Diciembre 15, 15:30 ~ 15:50

Operadores maximales y $k$-esqueletos

OLIVO, Andrea

Un problema estudiado recientemente es la relación entre los tama\~nos de dos conjuntos $B, S \subset R^{2}$ cuando $B$ contiene el borde de un cuadrado con centro en cada punto de $S$. \\ Mas generalmente: $B, S \subset R^{n}$ y $B$ contiene el $k$-esqueleto de un cubo $n$-dimensional con centro en cada punto de $S$. Estos tipos de problemas geométricos tienen asociado un operador maximal, en este caso hemos considerado el siguiente: \begin{equation*} M^{k}_{\delta}f(x) = \sup\limits_{1 \leq r \leq2} \min\limits_{j=1}^{N} \displaystyle\frac{1}{\mathcal{L}(S_{k,\delta}^{j}(x,r))} \int _ {S_{k,\delta}^{j}(x,r)} |f(y)| dy, \end{equation*} donde $S_{k,\delta}^{j}(x,r)$ es un $\delta$-entorno para cada uno de los $N=N(k,n)$ lados del $k$-esqueleto $S_{k}(x,r)$ correspondiente al cubo con centro $x$ y lados de longitud $2r$.\\ Este operador no es sub-lineal y esta es la primer diferencia con los problemas clásicos relacionados, sin embargo, se puede ver que es mejor tomar en consideración todos los lados de cada $k$-esqueleto para evitar resultados triviales y que no resultan naturales. En este trabajo mostraremos las cotas encontradas en $L^p$ para este operador y como se recuperan algunos resultados ya conocidos previamente en relación a los tama\~nos de $B$ y $S$.

Autores: OLIVO, Andrea / Shmerkin, Pablo.