Sesión Análisis

Diciembre 14, 11:00 ~ 11:20

Polarización no simétrica

MARCECA, Felipe

Sea $P:\mathbb{C}^n\rightarrow \mathbb{C}$ un polinomio $m$-homogéneo dado por \[P(x)= \sum_{1\leq j_1\leq \ldots \leq j_m \leq n} c_{j_1 \ldots j_m} x_{j_1}\ldots x_{j_m}.\] Defant y Schl\"uters definieron una $m$-forma no simétrica asociada $L_P: \left(\mathbb{C}^n \right)^m\rightarrow \mathbb{C}$ como \[L_P \left(x^{(1)},\ldots,x^{(m)} \right)= \sum_{1\leq j_1\leq \ldots \leq j_m \leq n} c_{j_1 \ldots j_m} x_{j_1}^{(1)}\ldots x_{j_m}^{(m)}.\] Además, estimaron la norma de $L_P$ en $(\mathbb{C}^n, \| \cdot\|)^m$ en términos de la norma de $P$ en $(\mathbb{C}^n, \| \cdot\|)$ por un factor $(c\log n)^{m^2}$ para toda norma 1-incondicional $\|\cdot\|$ en $\mathbb{C}^n$. Expondremos un proceso de simetrización basado en un algoritmo para mezclar cartas que (junto al argumento de Defant y Schl\"uters) mejora el término constante a $(c m \log n)^{m-1}$. En cuanto a cotas inferiores, mostraremos que la cota óptima es más grande que $(c \log n)^{m/2}$ para $n\gg m$. Finalmente, se discutirá el caso de las $\ell_p$-normas $\|\cdot \|_p$ con $1\leq p <2$. Trabajo en conjunto con Daniel Carando.

Autores: MARCECA, Felipe / Carando, Daniel.