Sesión Aplicaciones de la Matematica y Fisica Matematica (II)

Diciembre 15, 16:50 ~ 17:10

Un problema generalizado de Sitnikov

Beltritti, Gastón

Estudiamos un tipo especial de problema de $n+1$-cuerpos sometidos a las leyes gravitatorias de Newton, donde $n$ de estos cuerpos o puntos masa (llamados cuerpos primarios) siguen un movimiento homográfico dentro de un plano $\Pi$ y una partícula adicional de masa cero se mueve en la línea $L$ que es perpendicular a $\Pi$ y que pasa por el centro de masas de los primarios. Cuando $n=2$ este tipo de problema fue muy estudiado, el artículo pionero \cite{ sitnikov1960existence} dio origen a una extensa bibliografía. Asi mismo, para $n>2$ el estudio de este tipo de problema registra antecedentes para ciertas configuraciones especiales de primarios (polígonales y romboidales). Cómo es sabido, un movimiento homógrafico esta asociado a una configuración central de primarios. En este trabajo investigamos la posibilidad de que una partícula no grave se mantenga en $L$, i.e. que $L$ sea invariante por el flujo de la ecuación de movimiento de la partícula. Llegamos así, a una condición sobre la configuración que denominamos \emph{balanceada}. Posteriormente clasificamos todas las configuraciones balanceadas de $3$ y $4$ cuerpos. Consisten en los triángulos Lagrangianos, el cuadrado, ambas formadas por cuerpos de la misma masa (en general un polígono regular con masas iguales es balanceado), tenemos soluciones colineales simétricas y en forma de rombo. Suponiendo que los primarios asociados a una configuración balanceada están un un movimiento de equilibrio relativo clasificamos todas los posibles movimientos de la partícula no grave. Obtenemos así un rango de energías para los cuales la partícula mantiene un movimiento periódico. Nos planteamos hallar condiciones bajo las cuales el periodo minimo de la partícula iguale al de los primarios. Concluímos que esto ocurre cuando la configuración balanceada da origen a lo que en la literatura se conoce como \emph{configuración central piramidal}. Demostramos que todas las congiguraciones balanceadas halladas previamente satisfacen esta condición. En el caso de configuraciones poligonales, debe ocurrir que $n\leq 472$. \begin{thebibliography}{1} \bibitem{sitnikov1960existence} K.Sitnikov. The existence of oscillatory motions in the three-body problem. In {\em Dokl. Akad. Nauk SSSR}, volume 133, pages 303--306, 1960. \end{thebibliography}

Autores: Mazzone, Fernando Darío / Beltritti, Gastón / Oviedo, Martina.