Sesión Aplicaciones de la Matemática y Física Matemática

Diciembre 13, 11:00 ~ 11:20

Regiones de multiestacionariedad y aplicaciones a cascadas enzimáticas

GIAROLI, Magalí

Este trabajo está basado en el marco general para encontrar parámetros ``explícitos'' para los que existan múltiples estados de equilibrio positivos y no degenerados en redes de reacciones bioquímicas, que comunicamos en 2016~[2]. La herramienta básica de geometría algebraica real fue propuesta en el artículo de Bihan y Spaenlehauer~[3] cuando los polinomios involucrados tienen el mismo soporte. Por un lado, extendemos estos resultados generales al caso de subdivisiones regulares que no son necesariamente triangulaciones y por otro proponemos una alternativa {\em mixta} en el caso de soportes distintos. Aplicamos estos resultados al caso de cascadas enzimáticas con cualquier número $n$ de niveles, que son de gran importancia biológica. Los estados de equilibrio del sistema dinámico de acción de masas asociado son las soluciones reales positivas de un sistema polinomial con parámetros (constantes de reacción). El interés principal es detectar cuántos estados estacionarios puede haber en cada clase de compatibilidad estequiométrica, que son espacios lineales invariantes determinados por leyes de conservación de la dinámica, y que dependen de nuevos parámetros (concentraciones totales). En el caso de las cascadas enzimáticas, cada nivel aporta al menos una nueva ley de conservación y así los sistemas corresponden a dimensiones crecientes. Vía una parametrización racional de la variedad de estados de equilibrio~[5], reducimos el estudio de la multiestacionariedad (es decir, la ocurrencia de más de un estado de equilibrio con concentraciones totales fijas) a un sistema con menos variables. Obtenemos condiciones en ciertos parámetros y totales de concentraciones para garantizar que haya al menos dos simplices decorados en la triangulación de la cápsula convexa del soporte del sistema reducido, y luego, mediante un reescalamiento del resto de los parámetros, garantizamos la existencia de dos o más estados de equilibrio positivos no degenerados. En~[4] proponen un enfoque general interesante basado en teoría de grado, pero solo consiguen condiciones en las constantes de reacción y no precisan las condiciones en las concentraciones totales. En~[1] determinan en particular la capacidad de multiestacionariedad de las cascadas cuando los dos últimos niveles comparten la misma fosfatasa (enzima que produce desfosforilación de los sustratos), pero sin determinar condiciones en los parámetros. También es posible saber en este caso que la red es multiestacionaria para ciertos parámetros utilizando resultados de~[5]. Nuestro marco teórico general nos permite describir abiertos en el espacio de parámetros para los cuales hay multiestacionariedad del sistema asociado, definidos por desigualdades polinomiales explícitas que involucran conjuntamente las constantes de reacción y las concentraciones totales. \smallskip {\small \noindent{\bf Referencias} \noindent [1] M. Banaji, C. Pantea. \textit{The inheritance of nondegenerate multistationarity in chemical reaction networks}. Preprint, disponible en arXiv:1608.08400. \noindent [2] F. Bihan, A. Dickenstein, M. Giaroli. \textit{Regiones de multiestacionariedad en redes de reacciones bioqu\'{\i}micas}. Comunicación presentada en la Reunión Anual de la UMA 2016. \noindent [3] F. Bihan, P-J. Spaenlehauer.\textit{Sparse polynomial systems with many positive solutions from bipartite simplicial complexes}. Preprint, disponible en arXiv:1510.05622. \noindent [4] C. Conradi, E. Feliu, M. Mincheva, C. Wiuf. \textit{Identifying parameter regions for multistationarity}. Preprint, disponible en arXiv:1608.03993. \noindent [5] M. Pérez Millán, A. Dickenstein. \textit{The structure of MESSI biological systems}. Preprint, disponible en arXiv:1612.08763.

Autores: GIAROLI, Magalí / BIHAN, Frédéric / DICKENSTEIN, Alicia.