Sesión Analisis (II)

Diciembre 14, 18:10 ~ 18:30

Desigualdades vectoriales para operadores multilineales

Mazzitelli, Martín

El estudio de desigualdades vectoriales para operadores lineales tiene sus orígenes en los años `30 con trabajos de Bochner, Marcinkiewicz, Paley y Zygmund entre otros. En este contexto encontramos las llamadas desigualdades de Marcinkiewicz-Zygmund para operadores lineales entre espacios $L^p$. Específicamente, dados $1\leq p,q,r \leq \infty$, se dice que $(p,q,r)$ satisface una desigualdad de Marcinkiewicz-Zygmund si hay una constante $C \geq 1$ tal que para cada operador lineal acotado $T\colon L^q(\mu) \to L^p(\nu)$, cada $n \in \mathbb{N}$ y cada elección de funciones $f_1,\dots,f_n \in L^q(\mu)$, se verifica \begin{equation}\label{MZ property} \left\Vert \left(\sum_{k=1}^n |T(f_{k})|^r\right)^{1/r} \right\Vert_{L^p(\nu)} \leq C \|T\| \left\| \left(\sum_{k=1}^{n} |f_{k}|^r\right)^{1/r} \right\|_{L^{q}(\mu)}. \end{equation} En \cite{DefJun, GasMal}, los autores abordaron un estudio sistemático de este tipo de desigualdades logrando determinar el conjunto de 3-uplas $(p,q,r)$ y, en muchos casos, las mejores constantes $C\geq1$ satisfaciendo \eqref{MZ property}. En esta charla discutiremos la extensión de estas clásicas desigualdades al contexto multilineal (ver \cite{CarMazOmb}). Como aplicación, obtendremos desigualdades vectoriales para operadores multilineales singulares, las cuales compararemos con estimaciones vectoriales previamente estudiadas en \cite{BenMus, CruMarPer, GraMar}. {\small \begin{thebibliography}{99} \bibitem{BenMus} Benea~C. and Muscalu~C., \textit{Multiple vector valued inequalities via the helicoidal method}, Anal. PDE, \textbf{9}: 1931-1988, 2016. \bibitem{CruMarPer} Cruz-Uribe~D., Martell~J.M. and Pérez~C., \textit{Extrapolation from $A_{\infty}$ weights and applications}, J. Funct. Anal., \textbf{213} (2): 412-439, 2004. \bibitem{DefJun} Defant~A. and Junge~M., \textit{Best constants and asymptotics of Marcinkiewicz-Zygmund inequalities}, Studia Math. \textbf{125} (3): 271-287, 1997. \bibitem{GasMal} Gasch~J. and Maligranda~L., \textit{On vector-valued inequalities of Marcinkiewicz-Zygmund, Herz and Krivine type}, Math. Nachr. \textbf{167}: 95-129, 1994. \bibitem{GraMar} Grafakos~L. and Martell~J.M., \textit{Extrapolation of weighted norm inequalities for multivariable operators and applications}, J. Geom. Anal., \textbf{14} (1): 19-46, 2004. \bibitem{CarMazOmb} Carando~D., Mazzitelli~M. and Ombrosi~S., \textit{Multilinear Marcinkiewicz-Zygmund inequalities}, accepted in J. Fourier Anal. Appl., DOI 10.1007/s00041-017-9563-5. \end{thebibliography}}

Autores: Carando, Daniel / Mazzitelli, Martín / Ombrosi, Sheldy.