Sesión Ecuaciones Diferenciales y Probabilidad (II)

Diciembre 13, 11:20 ~ 11:40

Solitons ópticos en cristales líquidos nemáticos: modelo con saturación

BORGNA, Juan Pablo

El dispositivo experimental que da origen al tema que trataremos en este trabajo fue dise\~{n}ado por G. Assanto y colaboradores y consiste en hacer incidir un haz l\'{a}ser en un medio muy fino de cristales l\'{\i}quidos nemáticos que se encuentra precondicionado por la acción de un campo el\'{e}ctrico transversal. Los cristales l\'{\i}quidos nem\'{a}ticos son cristales-mol\'{e}culas con forma obloide y con cierta capacidad de rotar sobre s\'{\i} mismos, por lo que pueden ser preordenados por un campo el\'{e}ctrico transversal, de modo que, en promedio, quedan alineados a $45{{}^\circ}$ respecto al eje óptico. Matemáticamente tenemos un sistema de dos ecuaciones diferenciales acopladas en las variables $u\left( x,z\right) $ (intesidad del l\'{a}ser en el "instante" $z,$ en la posición $x$) y $\theta\left( x,z\right) $ (\'{a}ngulo de desv\'{\i}o de las moleculas respecto al \'{a}ngulo dado por el campo precondicionador)% \begin{subequations} \label{sistema no lineal}% \begin{align} i\partial_{z}u+\frac{1}{2}\nabla^{2}u+\sin\left( 2\theta\right) u & =0\label{ecuacion no lineal de Schro}\\ \nu\nabla^{2}\theta-q\sin\left( 2\theta\right) & =-2\left\vert u\right\vert ^{2}\cos\left( 2\theta\right) \label{ecuacion no lineal de Poisson}% \end{align} En una primera aproximación al sistema (\ref{sistema no lineal}), los autores resolvieron el sistema linealizado asociado, haciendo la aproximación para peque\~{n}os \'{a}ngulos: $\sin\left( \theta\right) \approx\theta$ y $\cos\left( \theta\right) \approx1,$ por lo que trabajon con el sistema lineal% \end{subequations} \begin{subequations} \label{sistema linealizado}% \begin{align} i\partial_{z}u+\frac{1}{2}\nabla^{2}u+2\theta u & =0\label{ecuacion lineal de Schro}\\ \nu\nabla^{2}\theta-2q\theta & =-2\left\vert u\right\vert ^{2}% \label{ecuacion lineal de Poisson}% \end{align} \end{subequations} La ecuación del \'{a}ngulo director (\ref{ecuacion lineal de Poisson}) tiene una \'{u}nica solución $\theta=G\ast|u|^{2},$ donde $G(x)=2\nu^{-1}% N_{0}\left( \sqrt{2q/\nu}\left\vert x\right\vert \right) $ y $N_{0}$ es la función modificada de Bessel. Considerando esto, los autores reescribieron el sistema (\ref{sistema linealizado}) como una ecuación NLS con no linealidad tipo Hartree $i\partial_{z}u+\frac{1}{2}\nabla^{2}u+2\left( G\ast\left\vert u\right\vert ^{2}\right) u=0.$ Desde aqu\'{\i} probaron la existencia de soluciones $u$ y $\theta,$ pero no otros fenómenos observados experimentalmente como por ejemplo la saturación del \'{a}ngulo $\theta:$ por mas intenso que sea el campo incidente $u,$ el \'{a}ngulo $\theta$ nunca alcanza la perpendicular al eje óptico. En el presente trabajo se da una demostración de la existencia local y global de soluciones del sistema no lineal (\ref{sistema no lineal}), como as\'{\i}\ tambi\'{e}n de la existencia de solitons ópticos. Y adem\'{a}s se demuestra que desde el sistema no lineal se desprende la necesidad que una solución $\theta$ de la ecuación (\ref{ecuacion no lineal de Poisson}% ), necesariamente satisface el efecto de saturación, explicando con esto lo observado experimentamente. En resumen, presentaremos los dos resultados centrales del trabajo: el primero es que dado $u\in L^{4}\left( \mathbb{R}^{2}\right) \cap L^{\infty}\left( \mathbb{R}^{2}\right) ,$ la ecuación (\ref{ecuacion no lineal de Poisson}) tiene una \'{u}nica solución $\theta\left( \left\vert u\right\vert ^{2}\right) \in H^{2}\left( \mathbb{R}^{2}\right) ,$ y adem\'{a}s esta solución satisface que $\theta\left( x\right) \in\left[ 0,\pi/4\right) $ para todo $x\in \mathbb{R}^{2}$ (efecto de saturación). El segundo es que, una vez que se tiene la existencia del campo director de los angulos $\theta,$ se lo usa para probar la existencia local y global de la solución $u,$partiendo de un dato inicial $\left( u_{0},\theta\left( \left\vert u_{0}\right\vert ^{2}\right) \right) ,$ con $u_{0}\in H^{1}\left( \mathbb{R}^{2}\right) $.

Autores: BORGNA, Juan Pablo / Panayotaros, Panayotis / Rial, Diego / Sánchez de la Vega, Constanza.