Sesión Geometría y Topología

Diciembre 12, 15:30 ~ 15:50

Multiplicidad uno para el $\tau$-espectro de espacios localmente homogéneos de tipo compacto

MIATELLO, Roberto

Sea $G$ un grupo de Lie compacto, $K$ un subgrupo cerrado de $G$, $\tau$ una representación irreducible de $K$ y $\Gamma$ un subgrupo discreto de $G$. La representación regular de $G$ en $L^2(\Gamma\backslash G)$ se descompone como suma directa de subrepresentaciones irreducibles ortogonales de $G$ con multiplicidad finita. \begin{equation*} L^2(\Gamma\backslash G) \simeq \bigoplus_{\pi\in\widehat{G}} n_\Gamma(\pi)\,V_\pi, \end{equation*} donde $n_\Gamma(\pi)\in\mathbb{N}\cup\{0\}$ es no cero para $\pi$ en una familia numerable del dual unitario $\widehat G$. Una representación $\pi$ de $G$ se dice $\tau$-esférica si $\operatorname{Hom}_K(\tau,\pi)\neq0$. Sea $\widehat G_{\tau}$ el conjunto de representaciones unitarias irreducibles $\tau$-esféricas de $G$. Es bien conocido que las multiplicidades $ n_\Gamma(\pi)\,V_\pi$ para $\pi \in \widehat G_{\tau}$ determinan el espectro del operador de Laplace $\Delta_\tau$ actuando en secciones del fibrado vectorial asociado a $\tau$. La recíproca está abierta. Para estudiar este problema introducimos la útil noción de `cuerdas' de representaciones de $G$ y usando técnicas de representaciones, demostramos que si $\widehat G_{\tau}$ es unión de cuerdas entonces el espectro $\Delta_\tau$ determina cada multiplicidad $ n_\Gamma(\pi)\,V_\pi$ para $\pi \in \widehat G_{\tau}$. En la prueba usamos herramientas de teoría de representaciones, en particular una fórmula del carácter de Weyl degenerada debida a Chenevier y Renard (Memoirs Amer.\ Math.\ Soc.\ 237, 2015). La idea consiste en probar que una parte finita del espectro de $\Gamma \backslash G/K$, de densidad adecuada, determina todo el $\tau$-espectro de $\Gamma \backslash G/K$. Además damos varias situaciones en las cuales $\widehat G_{\tau}$ es efectivamente una unión (finita) de cuerdas. En particular, en el caso de los espacios simétricos compactos de rango 1, probamos la validez de este hecho si $\tau$ es una representación de $G$ en $p$-formas de $G/K$. En el curso del trabajo obtenemos un teorema de multiplicidad uno para el $\tau$-espectro en el espíritu de resultados de Bagwhat-Rajan (Int.\ Math.\ Res.\ Not.\ (2011)) y de Kelmer (Trans.\ Amer.\ Math.\ Soc.\ (2014)).

Autores: MIATELLO, Roberto / LAURET, Emilio.