Sesión Álgebra Computacional y Conmutativa

Diciembre 15, 11:20 ~ 11:40

Fórmulas para la multiplicidad de los ceros aislados de sistemas ralos genéricos

Jeronimo, Gabriela

Un sistema genérico de ecuaciones polinomiales ralas consiste de ecuaciones dadas por polinomios con estructura monomial prefijada y coeficientes complejos genéricos. Los soportes de los polinomios (es decir, el conjunto de los vectores de exponentes de los monomios que aparecen en cada polinomio) juegan un papel fundamental en la estimación de la cantidad de ceros aislados del sistema (\cite{Bernstein75}, \cite{HS97}), así como también en la existencia de componentes de dimensión positiva en el conjunto de soluciones en $\mathbb{C}^n$ (\cite{HJS13}). El uso de herramientas geométrico-combinatorias de este tipo ha dado lugar también a resultados en problemas relacionados, tales como la determinación de invariantes numéricos asociados a singularidades de variedades dadas por polinomios ralos (\cite{Kouch76}) y multiplicidades de ideales monomiales en anillos locales (\cite{Teissier88}, \cite{KK14}). En esta comunicación presentaremos fórmulas para la multiplicidad de los ceros aislados en $\mathbb{C}^n$ de un sistema ralo genérico de $n$ ecuaciones con $n$ incógnitas. Siguiendo el enfoque clásico de Bernstein, Khovanskii y Kouchnirenko, estas fórmulas dependen de la estructura combinatoria del sistema, más precisamente, de invariantes asociados a los soportes de las ecuaciones: volúmenes mixtos de conjuntos convexos e integrales mixtas de funciones convexas. \begin{thebibliography}{00} \bibitem{Bernstein75} D. N. Bernstein, The number of roots of a system of equations. Funct. Anal. Appl. 9 (1975), 183--185. \bibitem{HS97} B. Huber, B. Sturmfels, Bernstein's theorem in affine space. Discrete Comput. Geom. 17 (1997), no. 2, 137--141. \bibitem{HJS13} M.I. Herrero, G. Jeronimo, J. Sabia, Affine solution sets of sparse polynomial systems. J. Symbolic Comput. 51 (2013), 34--54. \bibitem{KK14} A.G. Kaveh, A.G. Khovanskii, Convex bodies and multiplicities of ideals. Proc. Steklov Inst. Math. 286 (2014), no. 1, 268--284. \bibitem{Kouch76} A.G. Kouchnirenko, Polyédres de Newton et nombres de Milnor. Invent. Math. 32 (1976), no. 1, 1--31. \bibitem{Teissier88} B. Teissier, Mon\^omes, volumes et multiplicités. Introduction \`a la théorie des singularités, II, 127--141, Travaux en Cours, 37, Hermann, Paris, 1988. \end{thebibliography}

Autores: HERRERO, María Isabel / Jeronimo, Gabriela / SABIA, Juan.