Sesión Análisis Numérico y Optimización

Diciembre 15, 15:30 ~ 15:50

Mallas híbridas anisótropas en dimensión tres para la discretización de problemas elípticos en poliedros no convexos con Elementos Finitos y Virtuales.

JAWTUSCHENKO, Alexis

\def\bu{\boldsymbol{u}} En este trabajo consideramos la formulación mixta del problema modelo de Poisson con dato en $L^2(\Omega)$ y condiciones homogéneas de Dirichlet en un poliedro Lipschitz $\Omega\subseteq\mathbb{R}^3$ no convexo con singularidades de arista y vértice para el cual, en presencia de las mencionadas singularidades, sabemos que la variable escalar de su solución no está en $H^2(\Omega)$ en el caso general (cfr.~\cite{alw, apel_nicaise}). Como consecuencia de esto, los métodos de elementos finitos cuasi--uniformes se ven degradados y perdemos el orden óptimo de convergencia del error. Si hacemos una subdivisión de un poliedro general solamente con tetrahedros no regulares, entonces incurrimos en el uso de ciertos tetraedros que no admiten estimaciones ani\-só\-tro\-pas, para los elementos clásicos de Raviart--Thomas~\cite{aadl}, que son necesarias para el análisis de métodos con elementos no regulares. El problema es, entonces, hallar una familia de mallas conformes no regulares de poliedros, evitando el uso esta clase de tetraedros, y que sean graduadas hacia las singularidades de tal forma~\cite{apel_nicaise} que permitan recuperar la convergencia óptima.t Nuestra solución al problema consiste en proponer un método híbrido que combina Elementos Finitos anisótropos en prismas y tetraedros con Elementos Virtuales piramidales. Para estos últimos hacemos una extensión a dimensión tres de los Elementos Virtuales en~\cite{bfm}. Demostramos que existe una familia de mallas ani\-só\-tro\-pas graduadas de prismas, pirámides y tetraedros $\{\mathcal{T}_{\textit{h}}\}_{\textit{h}\downarrow 0}\,$ para la cual \begin{equation} \label{aux_label2} \|\bu-\bu_{\textit{h}}\|_{L^2(\Omega)} \leqslant C \textit{h} \|f\|_{L^2(\Omega)} \mbox{,}\quad \|p-p_{\textit{h}}\|_{L^2(\Omega)} \leqslant C \textit{h} \|f\|_{L^2(\Omega)} \end{equation} donde $\textit{h}\lesssim (1/N)^{\,1/3}$ y $N$ es el cardinal de $\mathcal{T}_{\textit{h}}$. En las desigualdades~(\ref{aux_label2}) y la relación posterior entre $\textit{h}$ y $N$ queda explícito que nuestro método recupera el orden óptimo de convergencia del error para dato en $L^2$. La combinación de prismas y tetraedros con pirámides nos permiten obtener conformidad de las mallas y a su vez reducir el número de grados de libertad de la discretización. La existencia de la familia de mallas está demostrada con una construcción explícita de los elementos y un algoritmo de mallado para poliedros con aristas o vértices singulares. \begin{thebibliography}{9} \bibitem{aadl} Acosta, G., Apel, T., Durán, R., Lombardi, A. (2011): \emph{Error Estimates for Raviart--Thomas Interpolation of any order on Anisotropic Tetrahedra}, Math. Comp., \textbf{80},273, 141--163. \bibitem{alw} {\sc{Th. Apel, A. Lombardi, M. Winkler}}, \emph{Anisotropic Mesh Refinement in Polyhedral Domains: Error Estimates with data in $L^2(\Omega)$}, ESAIM: M2AN 48 (2014) 1117--1145. \bibitem{apel_nicaise} {\sc{Th. Apel, S. Nicaise}}, \emph{The Finite Element Method with Anisotropic Mesh Grading for Elliptic Problems in Domains with Corners and Edges.}, Mathematical Methods in the Applied Sciences, Vol. 21 (519--549), 1998. \bibitem{bfm} {\sc{F. Brezzi, Richard S. Falk and L. Donatella Marini}}, \emph{Basic Principles of Mixed Virtual Element Methods}, Mathematical Modelling and Numerical Analysis, Volume 48, Number 4, 2014. \end{thebibliography}

Autores: JAWTUSCHENKO, Alexis / Lombardi, Ariel Luis.