Sesión Geometría Algebraica y Teoría de Números

Diciembre 14, 16:10 ~ 16:30

Foliaciones split en variedades tóricas

VELAZQUEZ, Sebastian Lucas

El problema de clasificación de foliaciones en variedades complejas ha atraído la atención de numerosos matemáticos en las últimas décadas. Un problema central de esta teoría es entender la geometría de los espacios de moduli de foliaciones de codimensión $q$, que denotaremos $\mathcal{F}_q(X,\mathcal{L})$. Sea $X$ una variedad suave y completa y $\mathcal{L}$ un line bundle sobre $X$. Consideraremos el haz de $1$-formas diferenciales torcidas $\Omega^1_X\otimes \mathcal{L}$ sobre $X$. Decimos que una sección de este haz es integrable si satisface la condición de Frobenius $\omega\wedge d\omega=0$. Bajo estas condiciones, una sección global $\omega$ define una foliación de codimensión $1$ en $X$. Más aún, toda foliación de codimensión $1$ puede ser descrita de esta manera. De esta forma, podemos identificar a $\mathcal{F}_1(X,\mathcal{L})$ con la subvariedad de $\mathbb{P}H^0(X,\Omega^1_X\otimes \mathcal{L})$ definida por las ecuaciones cuadráticas que devienen de la condición de Frobenius. Decimos que una foliación $\mathcal{F}$ es split si su haz tangente se puede expresar como una suma directa de line bundles, es decir, $\mathcal{T}\mathcal{F}=\bigoplus_{i=1}^{n-1}\mathcal{L}_i$. En [1], Cukierman y Pereira probaron que las foliaciones split en los espacios proyectivos determinan componentes irreducibles (nuevas) de $\mathcal{F}_q(\mathbb{P}^n,m)$. En esta comunicación usaremos la existencia de coordenadas homogéneas (ver [2]) para probar resultados de estabilidad similares en una variedad tórica suave y completa. \begin{thebibliography}{9} \bibitem{1} Cukierman, F., Pereira, J. V. (2008). Stability of holomorphic foliations with split tangent sheaf. American Journal of Mathematics, 130(2), 413-439. \bibitem{2} Cox, D. (1995). The homogeneous coordinate ring of a toric variety. J Algebraic Geom., 4, 17-50. \end{thebibliography}

Autores: VELAZQUEZ, Sebastian Lucas.