Sesión Aplicaciones de la Matemática y Física Matemática

Diciembre 14, 16:10 ~ 16:30

Resultados sobre robustez y saturación del control en el método ODFC para la estabilización de puntos de equilibrio

GONZALEZ, Graciela A.

Consideramos un sistema no lineal gobernado por una ecuación diferencial autónoma: %\vspace{-0.45 cm} \begin{equation} \dot{x}=f(x,u,p) \end{equation} donde $x\! \in \! \mathbb{R}^n$, $u \! \in \! \mathbb{R}^q$ y $p \! \in \! \mathbb{R}^d$ son estado, entrada y parámetro respectivamente y tal que para un valor nominal $p_0$ de $p$, tiene un punto de equilibrio inestable $x_{p_0}$. Aunque sea posible aplicar un control realimentado $u(t)=\!K(x(t)\!-x_{p_0})$ que estabilice el sistema en dicho equilibrio, éste es inapropiado si se produce variación del parámetro $p$ o si $x_p$ no es conocido a priori. Una alternativa conocida es el DFC (delayed feedback control) dado por $u(t)\!=\!K(x(t)\!-x(t\!-\!\tau))$ con $K$ y $\tau$ a determinar.\\ La estabilización mediante DFC se obtiene sí y sólo sí $A=\frac{\partial f}{\partial x}(x,0,p)$ tiene un número par de autovalores reales positivos ([1] y sus referencias). Este resultado establece claramente la limitación del método. Además, no se dispone de una formulación efectiva para identificar el valor adecuado de $K$ y $\tau$ en los casos en que sí funciona. \\ Una propuesta construida [2] a fin de superar las desventajas señaladas, y a la que nos referimos como ODFC (oscillating delayed feedback control), está dada por: \begin{equation} u(t)= \epsilon(t)(x(t-2\tau)-x(t-\tau)) \end{equation} \vspace{-0.53 cm} siendo \begin{center} $\epsilon(t) = \begin{cases} 0, & \mbox{si } 3k\tau\! \leq \!t <\! (3k\!+\!2)\tau \\ \epsilon, & \mbox{si } (3k\!+\!2)\tau\! \leq \!t<\!(3k\!+\!3)\tau \end{cases}$ \ \ \ para $k\! \in \mathbb{N}\! \cup \! \{\!0\}$\end{center} para la cual hemos probado analíticamente la estabilidad asintótica del equilibrio eligiendo los parámetros adecuados en el caso escalar.\\ Más recientemente, trabajamos sobre el método ODFC en relación a: \textbf{(a)} robustez del método: estudiamos el caso en que la señal de control es afectada por una perturbación externa uniformemente acotada; \textbf{(b)} saturación del control, para evitar que se produzcan desvíos no deseados del estado o que el control tome valores muy grandes durante el transitorio [3]: analizamos el desempeño de la estrategia al imponer saturación del control mediante una ley lineal a trozos (rampa) o un elemento no lineal suavemente diferenciable (tangente hiperbólica). \\ Estos dos aspectos resultan importantes con vista a la extensión del método a sistemas de mayor dimensión, y en particular, para abordar ciertos problemas de control de caos.\\ \\ \emph{Bibliografía} \\ [1] t\newblock N.V. Kuznetsov, G.A. Leonov and M.M. Shumafov, t\newblock \emph{A short survey on Pyragas time-delay feedback stabilization and odd number limitation}, t\newblock \emph{IFAC-PapersOnLine}, \textbf{48-11}, 706-709 (2015). t [2]t\newblock V. E. Pastor and G. A. González, t\newblock Analysis and comparison of two oscillatory feedback control schemes for stabilizing equilibrium points, t\newblock \emph{Proceeding Series of the Brazilian Society of Computational and Applied Mathematics}, \textbf{4} 1,1-7 (2016). [3] \newblock K. Pyragas, t\newblock Continuous control of chaos by self-controlling feedback, t\newblock \emph{Phys. Lett. A.}, \text{170}, 421--428 (1992).

Autores: GONZALEZ, Graciela A. / PASTOR, Verónica E..