Sesión Análisis

Diciembre 15, 16:10 ~ 16:30

Dise\~no óptimo de multi-marcos con restricciones de normas

Massey, Pedro

Consideremos una sucesión finita de números reales positivos $ \alpha=(\alpha_i)_{i=1}^n$ y una sucesión de enteros positivos $d=(d_i)_{i=1}^m$, ambas ordenadas de forma no-creciente. Un $(\alpha,d)$-multi-marco es una familia $\mathcal F=\{\mathcal F_i\}_{i=1}^m$ tal que: $\mathcal F_i=\{f_{i,j}\}_{j=1}^n$ es una familia en $\mathbb C^{d_i}$ para $i=1,\ldots,m$, de forma que se verifican las restricciones $$ \sum_{i=1}^m \| f_{i,j}\,\|^2=\alpha_j \ \ \ , \ \ j=1,\ldots,n\,. $$ Dado un multi-marco $\mathcal F=\{\mathcal F_i\}_{i=1}^m$ y dada una función convexa $\varphi:\mathbb R_{\geq 0}\rightarrow\mathbb R_{\geq 0}$, podemos considerar el potencial convexo conjunto inducido por $\varphi$, dado por: $$\text{P}_\varphi(\mathcal F)=\sum_{i=1}^m \text{tr}(\varphi(S_{\mathcal F_i}))$$ donde $S_{\mathcal F_i}$ denota el operador de marco de $\mathcal F_i$, $i=1,\ldots,m$. Cabe remarcar que el potencial conjunto inducido por una función convexa brinda una medida de la estabilidad conjunta de la familia de algoritmos de codificación-decodificación: cuanto menor es el potencial conjunto, más estable es la familia (con las restricciones de normas anteriores). En esta charla indicaremos como es posible mostrar la existencia de $(\alpha,d)$-multi-marcos $\mathcal F^{\rm op}$ estructuralmente óptimos dentro de la clase de todos los $(\alpha,d)$-multi-marcos es decir, tales que $$\text{P}_\varphi(\mathcal F^{\rm op})\leq \text{P}_\varphi(\mathcal F) $$ para todo $(\alpha,d)$-multi-marco $\mathcal F$ y para toda función convexa $\varphi$.

Autores: Massey, Pedro / BENAC, María José / Ruiz, Mariano / Stojanoff, Demetrio.