Sesión Geometría Algebraica y Teoría de Números

Diciembre 14, 17:50 ~ 18:10

Distribución de autovalores de Hecke en formas de Hilbert.

VILLANUEVA, Angel

\newcommand{\ba}{\backslash} \newcommand{\Vol}{\operatorname{Vol}} \newcommand{\sign}{\operatorname{sign}} \newcommand{\A}{\mathbb{A}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\I}{\mathfrak{I}} \newcommand{\p}{\mathfrak{p}} \newcommand{\GL}{\mathrm{GL}} Sea $F$ un cuerpo de números totalmente real con número de clases $h$ y sea $\mathfrak{I}$ un ideal de $\mathcal{O}_{F}$ el anillo de enteros y $\Gamma_{0}(\mathfrak{I})$ un subgrupo de congruencia de Hecke de $G=\GL_{2}(\R)^{d}$. Para cada ideal primo $\mathfrak{p}$ en $\mathcal{O}_{F}$, $\mathfrak{p}\nmid \mathfrak{I}$ sea $T_{\mathfrak{p}}$ el operador de Hecke operando en el espacio de formas cuspidales de Maass en $\Gamma_{0}(\mathfrak{I}) \ba GL_{2}(\R)^{d}$. El objeto de esta presentación es comunicar resultados sobre la distribución conjunta de autovalores de $T_{\mathfrak{p}}$ y de los operadores de Casimir $C_{j}$ en cada componente arquimedeana de $F$. Más precisamente, dada una familia $\Omega_{t}$ de subconjuntos compactos de $\R^{d}$ donde $\Omega_{t}$ crece si $t \rightarrow \infty$ y un intervalo $I_{\mathfrak{p}} \subseteq [-2,2]$ para $\mathfrak{p} \nmid \mathfrak{I}$ se prueba la estimación $$\sum_{\varpi: \lambda_{\varpi}\in \Omega_{t} \atop \lambda_{\varpi,\mathfrak{p}} \in I_{\mathfrak{p}}} |c^{r}(\varpi)|^{2} = \Phi(I_{\mathfrak{p}}) \left[\frac{2\sqrt{D_{F}}}{(2\pi)^{d}} \Vol(\Gamma \ba GL_{2}(\R)^{d})\textrm{Pl}(\Omega_{t}) + o(V_{1}(\Omega_{t}))\right]$$ donde $c^{r}(\varpi)$ es el coeficiente de Fourier de la representación $\varpi$, $\Phi(I_{\mathfrak{p}})$ es la medida de Sato--Tate de $I_{\mathfrak{p}}$, $D_{F}$ es el discriminante del cuerpo $F$, Pl denota la medida de Plancherel y $V_{1}=o(\textrm{Pl})$. Esto implica que $$\lim_{t\rightarrow \infty} (\textrm{Pl}(\Omega_{t}))^{-1} \sum_{\varpi: \lambda_{\varpi}\in \Omega_{t} \atop \lambda_{\varpi,\mathfrak{p}} \in I_{\mathfrak{p}}} |c^{r}(\varpi)|^{2} = \Phi(I_{\mathfrak{p}}) \frac{2\sqrt{D_{F}}}{(2\pi)^{d}} \Vol(\Gamma_{0}(\mathfrak{I}) \ba GL_{2}(\R)^{d}). $$ En particular esto dice que hay una infinidad de formas automorfas con autovalores de $T_{\mathfrak{p}}$ en $I_{\mathfrak{p}}$ distribuidas según la medida de Sato-Tate del intervalo y además con autovalor de Casimir en la región $\Omega_{t}$ dada, distribuidas según la medida de Plancherel de la región. Esto generaliza los resultados de Sarnak (1987), de Murty--Sinha (2011) y de Bruggeman--Miatello (2013). Como consecuencia, se obtiene un resultado de equidistribución pesada, con peso $|c^{r}(\varpi)|^{2}$, de los autovalores de Hecke, complementando resultados de Knightly-Li (2013).

Autores: VILLANUEVA, Angel.