Sesión Geometría Algebraica y Teoría de Números

Diciembre 12, 16:30 ~ 16:50

Sobre automorfismos y AG-códigos cíclicos

CABAÑA, Gustavo Andrés

Una pregunta todavía sin responder dentro de la teoría de códigos es si la clase de códigos cíclicos es asintóticamente buena. Se demuestra en [1] que la clase de códigos transitivos es asintóticamente buena dando una sucesión de tales códigos construidos a partir de códigos algebraicos geométricos $C_{\mathcal{L}}(G_i,D_i)$ definidos en cada cuerpo de funciones $F_i$ correspondiente a la clausura galosiana de una torre de cuerpos de funciones sobre $\mathbb{F}_{q^{2}}$ que es asintóticamente buena. Similares resultados se obtienen en [2] para la clase de códigos transitivos por bloque aunque con mucha mayor información sobre el comportamiento asintótico de los parámetros. En todos estos casos las propiedades de transitividad y transitividad por bloques de los códigos $C_{\mathcal{L}}(G_i,D_i)$ se obtienen a partir de la acción de los grupos de automorfismos, asociados a las extensiones que definen a las torres de cuerpos de funciones utilizadas, sobre el conjunto de los lugares racionales que intervienen en los divisores $G_i$ y $D_i$ en cada código $C_{\mathcal{L}}(G_i,D_i)$. En vista de estos resultados es natural pensar en utilizar técnicas similares para el caso de códigos cíclicos. Sin embargo en [3] se dan los primeros indicios en cuanto a que la manera de construir códigos cíclicos mediante automorfismos de cuerpos de funciones no es adecuada para estudiar el problema del comportamiento asintótico de los mismos, aunque tales resultados son algo restringidos debido a que se lograron con una familia particular de automorfismos y, por lo tanto, no son concluyentes por el momento. En este trabajo logramos una mejora que permite considerar una familia más amplia de automorfismos a la utilizada en [3]. \nocite{Sti06} \nocite{CPT17} \nocite{CPT16} \begin{thebibliography}{3} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \bibitem{Sti06} H. Stichtenoth, Transitive and self-dual codes attaining the Tsfasman-Vladut-Zink bound. IEEE Trans. Inform. Theory, 52(5):2218-2224, 2006. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \bibitem{CPT17} M. Chara, R. Podestá and R. Toledano, Block transitive codes attaining the Tsfasman-Vladut-Zink bound. Preprint, 2017. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \bibitem{CPT16} M. Chara, R. Podestá and R. Toledano, Cyclic algebraic geometry codes. Preprint, 2016. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \end{thebibliography}

Autores: CABAÑA, Gustavo Andrés.