Sesión Álgebra Computacional y Conmutativa

Diciembre 14, 11:40 ~ 12:00

Implicitación de variedades racionales desde un enfoque tropical

HERRERO, María Isabel

Dados conjuntos finitos $\mathcal{A}_0, \dots, \mathcal{A}_n \subset \mathbb{Z}^d$ y polinomios $f_0, \dots, f_n \in \mathbb{C}[x_1^{\pm 1}, \dots, x_d^{\pm 1}]$ con estos soportes, $f_i(x_1, \dots, x_d)=\sum_{\alpha \in \mathcal{A}_i}a_\alpha x^\alpha \mbox{ para todo } 0 \le i \le n,$ un problema clásico es el de determinar las ecuaciones que definen la variedad algebraica $Z$ racionalmente parametrizada por la aplicación $$\mathbf{f}(x_1, \dots, x_d)= \Big(\frac{f_1(x_1, \dots, x_d)}{f_0(x_1, \dots, x_d)}, \dots, \frac{f_n(x_1, \dots, x_d)}{f_0(x_1, \dots, x_d)}\Big).$$ Este problema ha sido estudiado desde diversos puntos de vista que incluyen el uso de resultantes, bases de Gr\"obner y geometría tropical. En nuestro caso, lo estudiamos via el Teorema Fundamental de Kapranov, desde el enfoque valuativo de la geometría tropical. Cuando $Z$ es una hipersuperficie, conocer el polítopo de Newton $P$ de su ecuación implícita permite hallar dicha ecuación mediante el uso de herramientas de álgebra lineal. En este caso, la tropicalización de $Z$ es el $(n-1)$-esqueleto del abanico normal de $P$, y en particular sus conos maximales permiten conocer las direcciones de los ejes de ese polítopo. \medskip En esta comunicación presentamos una descripción de la tropicalización de la variedad cuando los coeficientes $\{a_\alpha\}_\alpha$ son genéricos, generalizando \cite{STY07} para el caso de funciones racionales. Ofrecemos una demostración alternativa, llevada a cabo a través del estudio de las posibles valuaciones de puntos en la imagen de $\mathbf{f}$. La mayor ventaja de este enfoque es que propone una estrategia para estudiar el caso no genérico. En el caso en que $Z$ es una hipersuperficie, presentamos cotas superiores para el grado esperado de $Z$ en función de las cápsulas convexas de los soportes. Asimismo, damos condiciones combinatorias en las caras de estos polítopos para que estas cotas se realicen (para coeficientes genéricos), que son de naturaleza similar pero distintas de las condiciones presentadas en~\cite{BS17} para la igualdad de volúmenes mixtos. \begin{thebibliography}{9} \bibitem{BS17} F. Bihan, I. Soprunov, \textit{Criteria for strict monotonicity of the mixed volume of convex polytopes}, arXiv:1702.07676. \bibitem{STY07} B. Sturmfels, J. Tevelev, J. Yu, \textit{The {N}ewton polytope of the implicit equation}. Mosc. Math. J. 7 (2007), no. 2, 327--346, 351. \end{thebibliography}

Autores: HERRERO, María Isabel / DICKENSTEIN, Alicia / MOURRAIN, Bernard.