Sesión Lógica y Computabilidad

Diciembre 14, 12:00 ~ 12:20

Subordinaciones y operadores cuasi-modales en álgebras de Tarski

CELANI, Sergio Arturo

Los operadores cuasi-modales en álgebras de Boole fueron introducidos en \cite{Cel:q-m} como una generalización de los operadores modales en álgebras de Boole. Por otra parte, las relaciones de subordinación definidas en álgebras de Boole son una interpretación algebraica de los espacios de proximidad de proximidad \cite{Naimpally-Warrack-Proximity Spaces}. En los artículos \cite{Bezhanesville-Nick and venema} y \cite{Celani- A survey a contact} se demuestra que las relaciones de subordinación y los operadores cuasi-modales son interdefinibles en álgebras de Boole. En esta comunicación comentaremos algunos resultados obtenidos en el estudio de los opeadores cuasi-modales en álgebras de Tarski. Como en el caso booleano, estos operadores son interdefinibles con una noción de subordinación. Probaremos un teorema de representación para las álgebras de Tarski dotadas de un operador cuasi-modal. Estudiaremos los filtros que son cerrados por el operador cuasi-modal (llamados round filter o $\Delta$- filtros). Demostraremos que los $\Delta$-filtros está íntimamente conectada con cierto tipo de congruencias que preservan en un cierto sentido el operador cuasi-modal o la relación de subordinación asociada. En el retículo de los $\Delta$-filtros sobresalen dos clases particulares: los $\Delta$-filtros \emph{irreducibles} y lo $\Delta$-filtros \emph{maximales} (llamados estos últimos \emph{ends}). Daremos algunas caracterizaciones de los $\Delta$-filtros irreducibles en las Tarski cuasi-topológicas. Probaremos que todo end es un irreducible y responderemos a la pregunta de cuando un filtro $\Delta$-filtro irreducible es maximal. Probaremos que en la clase de las álgebras de Tarski cuasi-topológicas todo $\Delta$-filtro irreducible es un end si y sólo si un álgebra de Tarski cuasi-monádica. Como corolario de esto tendremos que las álgebras de Tarski monádicas (álgebras de Boole monádicas) son caracterizadas como las álgebras de Tarski topológicas (álgebras de Boole topológicas) donde los filtros abiertos maximales son los filtros abiertos irreducibles. \begin{thebibliography}{1} \bibitem{Bezhanesville-Nick and venema}G. Bezhanishvili, N. Bezhanishvili, S. Sourabh, and Y. Venema, Irreducible Equivalence Relations, Gleason Spaces, and de Vries Duality, Applied Categorical Structures, (2016), 1-26 \bibitem{Celani- A survey a contact}S. A. Celani, Precontact relations and quasi-modal operators in Boolean algebras, Actas del XIII Congreso Dr. Antonio Monteiro (2016), Univ. Nac. del Sur, 2016, pp. 63-79. Available in http:/inmabb-conicet.gob.ar/publicaciones/actas-del-congreso-monteiro/13. \bibitem{Cel:q-m}S. A. Celani, Quasi-Modal algebras. Mathematica Bohemica Vol. 126, No 4 (2001), pp. 721-736. \bibitem{Naimpally-Warrack-Proximity Spaces} S. Naimpally and D. Warrack, \emph{Proximity Spaces,} Cambridge University Press, Cambridge, 1970. \end{thebibliography}

Autores: CELANI, Sergio Arturo.