Sesión Lógica y Computabilidad

Diciembre 14, 16:10 ~ 16:50

El principio variacional de Ekeland, el teorema de punto fijo de Caristi, y sistemas fuertes de la aritmética

David, Fernández Duque

Un {\em sistema de Caristi} es una tercia $(X,f,V)$, donde $X$ es un espacio métrico completo, $V\colon X\to (0,\infty)$ es una función semicontinua inferior, y $f\colon X\to X$ es una función arbitraria tal que, para toda $x\in X$, \[d(x,f(x))\leq V(x) - V(f(x)).\] El {\em teorema de punto fijo de Caristi} afirma que cualquier sistema de Caristi tiene un punto fijo; es decir, hay $x_\ast \in X$ tal que $f(x_\ast) = x_\ast$. Este resultado se puede demostrar utilizando el {\em principio variacional de Ekeland,} el cual dice que $V$ tiene un punto cuasi-mínimo, o bien utilizando {\em secuencias de Caristi,} las cuales son secuencias transfinitas $( x_\xi )_{\xi < \Omega} \subseteq X$ tales que $x_{\xi+1} = f(x_\xi)$ para todo $\xi$, la secuencia converge en ordinales límites, y $\Omega \leq \omega_1$ es lo suficientemente grande. Analizamos el principio variacional de Ekeland, el teorema de Caristi y su demostración usando secuencias transfinitas en el contexto de matemáticas inversas, donde los espacios métricos se suponen separables y se codifican de la manera usual. Entre los resultados obtenidos, tenemos que, sobre ${\sf RCA}_0$: \begin{itemize} \item ${\sf WKL}_0$ es equivalente al teorema de Caristi restringido a espacios compactos con $V$ continua. \item ${\sf ACA}_0$ es equivalente al teorema de Caristi sobre espacios compactos con $V$ semicontinua inferior. \item ${\sf TLPP}_0$ (el principio del camino a la izquierda relativizado para árboles mal fundados) es equivalente al teorema de Caristi para $f$ de Baire o de Borel. \item $\Pi^1_1{\sf -CA}_0$ es equivalente al principio variacional de Ekeland para $V$ semicontinua inferior. \item $\Pi^0_\omega{\sf -IFP}_0$ (el esquema de puntos fijos inflacionarios aritméticos) es equivalente al esquema que dice que, para $f$ definida artiméticamente, cualquier punto $x_0 \in X$ se puede incluir en una secuencia $( x_\xi )_{\xi < \Omega} \subseteq X$ que contiene un punto fijo de $f$.\\ \end{itemize} Todas estas teorías se definen sobre el lenguaje de la aritmética de segundo orden, y las mencionamos en orden estrictamente creciente según su potencia. Para formalizar estos resultados, también desarrollamos técnicas para codificar funciones semicontinuas inferiores en este contexto.

Autores: David, Fernández Duque / Paul, Shafer / Henry, Towsner / Keita, Yokoyama.