Sesión Analisis (II)

Diciembre 14, 15:50 ~ 16:10

Dominación sparse para conmutadores y aplicaciones

Rivera Ríos, Israel

Recordamos que dados un operador de Calderón-Zygmund $T$ y una función localmente integrable $b$ el conmutador $[b, T]$ se define como \[[b, T]f(x) = b(x)T f(x) - T(bf)(x)\] Este operador fue introducido por Coifman, Rochberg y Weiss. Dichos autores probaron que si $b\in BMO$ entonces el conmutador es acotado en $L^p$, de hecho, utilizando técnicas de dicho trabajo, puede establecerse que si adicionalmente $w \in A_p$, entonces el conmutador es acotado en $L^p(w)$. El conmutador presenta un comportamiento más singular que $T$. Esto se manifiesta en diferentes aspectos, en particular en el hecho de que si $b\in BMO$ no es de tipo débil $(1, 1)$ tal como estableció C. Pérez \cite{P}, sino que verifica una desigualdad más débil, con un logaritmo “adicional” en el lado derecho. En la última década, a raíz de la conjetura, finalmente teorema, $A_2$, se ha desarrollado un gran interés por las desigualdades con control cuantitativo de la constante $A_p$. En el intento de simplificar la prueba del teorema $A_2$, Lerner inició el desarrollo de lo que ha devenido en la conocida como teoría ``sparse''. La idea fundamental es poder controlar a objetos ``complicados'', por operadores positivos ``más sencillos'' definidos como sumas de promedios sobre cubos diádicos en una familia sparse, que resultan ser adecuados para obtener desiguldades cuantitativas. En esta comunicación se mostrará que el conmutador puede dominarse por una suma finita de operadores sparse definidos de la siguiente forma \[\mathcal{T}_{\mathcal{S},b}f(x) = \sum _{Q\in\mathcal{S}}|b(x) - b_Q|\frac{1}{|Q|}\int_Q|f|\chi_Q(x) \qquad \mathcal{T}_{\mathcal{S},b}^*f(x) = \sum_{Q\in\mathcal{S}}\frac{1}{|Q|}\int_Q|b - b_Q||f|\chi_Q(x)\] donde $b_Q=\frac{1}{|Q|}\int_Q b$. Adicionalmente se presentarán algunas aplicaciones del mismo a la obtención de desigualdades cuantitativas con pesos $A_p$. En particular, obtendremos una desigualdad en el extremo que mejora logaritmicamente la dependencia de la constante $A_1$ obtenida en \cite{OC}, así como una desigualdad cuantitativa de tipo Bloom con dos pesos mejorando la estimación obtenida en \cite{HLW}. Los resultados reportados están contenidos \cite{LORR}. \begin{thebibliography}{10} \bibitem{HLW} Holmes, I.; Lacey, M. T.; Wick, B. D. Commutators in the two-weight setting. Math. Ann. 367 (2017), no. 1-2, 51--80. \bibitem{LORR} Lerner, A. K.; Ombrosi, S.; Rivera-Ríos, I. P. On pointwise and weighted estimates for commutators of Calderón–Zygmund operators. Adv. Math. 319 (2017), 153--181. \textbf{(Trabajo reportado)} \bibitem{OC} Ortiz-Caraballo, C. Quadratic $A_1$ bounds for commutators of singular integrals with BMO functions. Indiana Univ. Math. J. 60 (2011), no. 6, 2107--2129. \bibitem{P} Pérez, C.; Endpoint estimates for commutators of singular integral operators. J. Funct. Anal. 128 (1995), no. 1, 163--185 \end{thebibliography}

Autores: Lerner, Andrei K. / Ombrosi, Sheldy / Rivera Ríos, Israel.