Sesión Análisis

Diciembre 12, 17:50 ~ 18:10

Una Generalización de la Prescripción de la Frontera 2-Microlocal

ROSENBLATT, Mariel

Decimos que $f\in \mathcal{C}_{x_0}^{(s,\sigma-s)}$ si $\exists\; C>0$ tal que $\forall j, k\in \mathbb{Z}$: $\left|x_0 - k2^{-j}\right| <1$, los coeficientes wavelet de $f$ verifican: $$\left|c_{j,k}\right|\leq C2^{-js}{(1+\left|k-2^{j}x_0\right|)}^{-(\sigma-s)}.$$ La frontera 2-microlocal de $f \in {L^{2}_{loc}} (\mathbb R)$, se define en cada $x_{0}\in Dom(f)$, como la curva del plano $(\sigma, s)$, $${\cal S}(\sigma) = \sup\{ s : f \in {\cal C}_{x_{0}}^{(s,\sigma-s)} \}.$$ Esta curva es cóncava hacia abajo y decreciente y tiene la particularidad de captar diversos exponentes que caracterizan la regularidad y el comportamiento oscilante de $f$ en el punto $x_0$. En \cite{Meyer1997}, \cite{GuiJaffardLevy1998} y \cite{LevySeuret04} los autores probaron que dada una curva ${\cal S}(\sigma)$, cóncava hacia abajo y decreciente, existe una función $f$ cuya frontera 2-microlocal en $x_0$ es la curva predeterminada ${\cal S}(\sigma)$. En cada uno de los artículos citados la construcción de $f$ se abordó desde distintas perspectivas. En este trabajo generalizamos estos resultados, construyendo una familia infinita de funciones $\cal F$ que cumple que para toda $f\in \cal F$ la frontera 2-microlocal de $f$ en $x_0$ es la curva preestablecida ${\cal S}(\sigma)$, con ${\cal S}(\sigma)$ tal que $S''(\sigma)<0$, o bien $S(\sigma)$ lineal. La familia $\mathcal F$ contiene a las funciones construidas en \cite{Meyer1997} y \cite{GuiJaffardLevy1998}. %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Bibliografía %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{thebibliography}{99} \bibitem{GuiJaffardLevy1998} B. Guiheneuf, S. Jaffard y J. L\'{e}vy Vehel, Two results concerning chirps and 2-microlocal exponents prescription, {\small\it Applied and Computational Harmonic Analysis} {\bf 5}, (1998), 487--492. \bibitem{LevySeuret04} J. L\'{e}vy Vehel y S. Seuret, 2-microlocal Formalism, {\small\it Proc. Sympos. Pure Math., AMS} {\bf 72(2)} (2004), 153--215. \bibitem{Meyer1997} Y. Meyer, {\small\it Wavelets, vibrations and scalings}. CRM Monograph Series, AMS (1997). \end{thebibliography}

Autores: ROSENBLATT, Mariel / Molter, Ursula.