Sesión Análisis

Diciembre 15, 12:00 ~ 12:20

Bases de Riesz de exponenciales en dominios no acotados de $\mathbb{R}^d$

Carbajal, Diana Agustina

Sea $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ un conjunto de medida positiva y finita y sea $\Gamma$ un conjunto discreto de $\mathbb{R}^d$. La existencia de bases de Riesz de exponenciales de la forma $E(\Gamma) = \{e^{2\pi i \gamma\cdot\omega}:\gamma \in \Gamma \}$ en el espacio $L^2(\Omega)$ es un problema muy estudiado. Recientemente, Grepstad y Lev, y posteriormente Kolountzakis (quien dió una demostración más corta del resultado), probaron que si $\Omega$ es un conjunto {\it acotado} que $k$-tesela al espacio por traslaciones sobre un retículo $\Lambda\subset\mathbb{R}^d$, entonces existen vectores $a_1,\dots,a_k \in \mathbb{R}^d$ tales que el sistema $E(H, a_1,\dots,a_k) :=\{e^{2\pi i (h+a_j)\cdot\omega}\,:\,h\in H,\,j=1,\dots,k\}$ es una base de Riesz de exponenciales en $L^2(\Omega)$, donde $H$ es el retículo dual de $\Lambda$. Aquí, por $k$-teselar nos referimos a que para casi todo $\omega\in\mathbb{R}^d$, $$\sum_{\lambda\in\Lambda} \chi_\Omega(\omega+\lambda) = k.$$ Dicho resultado deja de valer si $\Omega$ no es acotado. En esta comunicación comentaré sobre un reciente trabajo en conjunto con Carlos Cabrelli donde se encuentran condiciones suficientes para que $\Omega$, de medida positiva y finita, {\it no necesariamente acotado}, tenga una base de Riesz de exponenciales de la forma $E(H, a_1,\dots,a_k)$.

Autores: CABRELLI, Carlos / Carbajal, Diana Agustina.