Sesión Ecuaciones Diferenciales y Probabilidad (II)
Diciembre 13, 11:00 ~ 11:20
Control de la ecuación diferencial de Gompertz
ALLIERA, Carlos Héctor Daniel
La siguiente ecuación con retardo, conocida como Ecuación de Gompertz [1], representa el crecimiento tumoral:
\begin{equation}
\label{G1}
\begin{array}{l}
N'(t)= r N(t)\ln\left( \dfrac{K}{N(t-\tau)} \right)
\end{array}
\end{equation}
De condición inicial $N(t)=\varphi(t),\quad t\in[-\tau,0]$ para cierta $\varphi\in C([-\tau,0],\mathbb R^{+})$.\\
El equilibrio estable del sistema $(1)$ es: $N_0^*=K$ donde $K>0$ es la capacidad de carga y representa el tamaño máximo que puede alcanzar el tumor.\\
Para disminuir el valor de ese equilibrio se proponen modelos de control (en la práctica representan un tratamiento contra el tumor) como el siguiente:
\begin{equation}
\label{G01}
\left\lbrace \begin{array}{l}
N'(t)= r N(t)\left\lbrace \ln\left( \dfrac{K}{N(t-\tau)}\right)-c u(t) \right\rbrace \\
\\
u'(t)= -a u(t)+b \ln(N(t))\\
\\
N(t)=\varphi(t),\ t\in[-\tau,0],\\
\\
u(0)=u_0
\end{array}\right.
\end{equation}
en el cual los parámetros adicionales $a,\ b,\ c>0$ y la función $\varphi\in C^1([-\tau,0])$ es estrictamente positiva, y $u_0>0$.\\
El equilibrio del sistema con control ahora es:
$$\boxed{N_1^*=K^{\frac{ a }{ a +c b }} Autores: ALLIERA, Carlos Héctor Daniel.