Sesión Aplicaciones de la Matematica y Fisica Matematica (II)

Diciembre 14, 17:30 ~ 18:10

Integrabilidad no-conmutativa, solubilidad exacta y Hamilton-Jacobi

GRILLO, Sergio

Un sistema Hamiltoniano en una variedad de Poisson $M$, con función Hamiltoniana $H$, se dice \emph{integrable noconmutativo} o \textsl{superintegrable} si se conoce una fibration $F\kern-2pt :\kern-2pt M\kern-2pt \rightarrow\kern-2pt \Lambda$ (sobre alguna variedad $\kern-2pt \Lambda$) tal que: \begin{enumerate} \item $\operatorname{Im}X_{H}\subset\operatorname{Ker}F_{\ast}$ (o sea, $F$ define integrales primeras para el sistema), \item $\operatorname{Ker}F_{\ast}\subset\left(\operatorname{Ker}F_{\ast}\right)^{\perp}$, i.e. $F$ es \textsl{isotrópico}, \item $\left(\operatorname{Ker}F_{\ast}\right)^{\perp}$ es integrable. \end{enumerate} Por $X_{H}$ estamos denotando el campo Hamiltoniano asociado a $H$ y por $\perp$ el ortogonal de Poisson. En particular, el sistema es \textsl{integrable commutativo} (o \textsl{integrable Liouville-Arnold}) si $\operatorname{Ker}F_{\ast}=\left(\operatorname{Ker}F_{\ast}\right)^{\perp}$, i.e. $F$ es \textsl{Lagrangiano}. Todos estos sistemas, entre otras cosas, son \textsl{exactamente solubles}, en el sentido que es posible construir de forma explícita (a menos de ``cuadraturas'') una solución de sus ecuaciones de movimiento para cada condición inicial. Utilizando la teoría de Hamilton-Jacobi, recientemente desarrollada para sistemas dinámicos arbitrarios, mostraremos que las condiciones $1$ y $2$ enumeradas arriba son suficientes para asegurar solubilidad exacta. Más aún, veremos que $2$ puede reemplazarse por la condición de \textsl{isotropía débil}:\emph{ } $\operatorname{Ker}F_{\ast}\cap\operatorname{Im}\Xi^{\sharp}\subset\left(\operatorname{Ker}F_{\ast}\right)^{\perp}$, donde $\Xi:T^{*}M\times T^{*}M\rightarrow\mathbb{R}$ es el bivector de Poisson de $M$.

Autores: GRILLO, Sergio / Padrón, Edith.