Sesión Analisis (II)

Diciembre 14, 17:50 ~ 18:10

Desigualdades con pesos para operadores multilineales

Picardi, María Belén

En este trabajo estudiamos desigualdades mixtas con pesos para operadores multilineales y (sub)multilineales. El operador (sub)multilineal $\mathcal{M}$ se define en \cite{2} como $$\mathcal M(\vec f\,)(x)=\sup_{x\in Q }\prod_{i=1}^m\frac{1}{|Q|}\int_Q|f_i(y_i)|dy_i,$$ donde $\vec{f}=(f_1,...,f_m)$ y el supremo es tomado sobre todos los cubos $Q$ que contienen a $x$. Probamos el siguiente teorema: Sea $\vec{w}=(w_1,...,w_m)$ y sea $\nu = w_1^\frac{1}{m}...w_m^\frac{1}{m}$. Supongamos que $\vec{w}\in A_{\vec{1}}$ y $\nu v^{\frac{1}{m}}\in A_{\infty}$. Entonces existe una constante $C$ tal que \begin{equation} \label{main} \ \Bigg\| \frac{\mathcal{M}(\vec{f})}{v}\Bigg\|_{L^{\frac{1}{m}, \infty}(\nu v^\frac{1}{m})} \leq C \ \prod_{i=1}^m{\|f_i\|_{L^1(w_i)}} \end{equation} Este teorema generaliza al contexto multilineal el resultado de Sawyer sobre desigualdades mixtas. Ver \cite{1} y \cite{5}. La idea general de la prueba se basa en la estrategia de \cite{3}. Previamente habíamos obtenido (\ref{main}) bajo las hipótesis $w_1,...,w_m\in A_1$ y $v\in A_{\infty}$. Además, a partir de argumentos de extrapolación podemos extender el teorema a operadores de Calderón-Zygmund multilineales. Estos resultados se encuentran en \cite{4}. \begin{thebibliography}{2} \bibitem{1} D. Cruz-Uribe, J.M. Martell and C. Pérez, \emph{Weighted weak-type inequalities and a conjecture of Sawyer} Int. Math. Res. Not., 30 (2005), 1849-1871. \bibitem{2} A. Lerner, S. Ombrosi, C. Pérez, R. H. Torres y R. Trujillo-Gonzales, \emph{New maximal functions and multiple weights for the multilinear Calderón-Zygmund theory} Adv. Math., 220 (2009) no. 4, 1222-1264. \bibitem{3} K. Li, S. Ombrosi and C. Pérez, \emph{Proof of an extension of E. Sawyer's conjecture about weighted mixed weak-type estimates}, arXiv:1703.01530 (2017). \bibitem{4} K. Li, S. Ombrosi and B. Picardi, \emph{Weighted mixed weak-type inequalities for multilinear operators}, arXiv:1705.09206 (2017). \bibitem{5} E. Sawyer, \emph{A weighted weak type inequality for the maximal function} Proc. Amer. Math. Soc. 93 (1985), 610-614. \end{thebibliography}

Autores: Li, Kangwei / Ombrosi, Sheldy Javier / Picardi, María Belén.